λ„ν•¨μˆ˜μ˜ ν™œμš© II (1) - ν•¨μˆ˜μ˜ 증가와 κ°μ†Œ, ν•¨μˆ˜μ˜ κ·ΉλŒ€μ™€ κ·Ήμ†Œ, κ·Ήκ°’

ν•¨μˆ˜μ˜ 증가와 κ°μ†Œ

ν•¨μˆ˜ f(x)κ°€ μ–΄λ–€ ꡬ간에 μ†ν•˜λŠ” μž„μ˜μ˜ 두 수 $x_1, x_2$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $x_1<x_2$일 λ•Œ,

1️⃣ $f(x_1)<f(x_2)$이면 f(x)λŠ” 이 κ΅¬κ°„μ—μ„œ 증가

2️⃣ $f(x_1)>f(x_2)$이면 f(x)λŠ” 이 κ΅¬κ°„μ—μ„œ κ°μ†Œ

 

ν•¨μˆ˜μ˜ 증가와 κ°μ†Œμ˜ νŒμ •

ν•¨μˆ˜ f(x)κ°€ μ–΄λ–€ κ΅¬κ°„μ—μ„œ λ―ΈλΆ„κ°€λŠ₯ν•˜κ³ , 이 κ΅¬κ°„μ˜ λͺ¨λ“ x에 λŒ€ν•΄

1️⃣ $f'(x)>0$ β–Ά f(x)λŠ” 이 κ΅¬κ°„μ—μ„œ 증가

2️⃣ $f'(x)<0$ β–Ά f(x)λŠ” 이 κ΅¬κ°„μ—μ„œ κ°μ†Œ

 

🌟주의🌟

μœ„μ˜ 역은 μ„±λ¦½ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€!   ex) $f(x)=x^3$

 

βž•PLUSβž•

f(x)κ°€ μ¦κ°€ν•¨μˆ˜μΌ 쑰건: $f'(x)\geq 0$

f(x)κ°€ κ°μ†Œν•¨μˆ˜μΌ 쑰건: $f'(x)\leq 0$

 

β–³ $f(x)=x^3$ κ·Έλž˜ν”„

  • $f'(x)=3x^2$
  • $f'(0)=0$

ν•¨μˆ˜μ˜ κ·ΉλŒ€μ™€ κ·Ήμ†Œ ⭐️

Note: κ΅μœ‘κ³Όμ •μ—μ„œ κ°œλ… μžμ²΄κ°€ 바뀐 Case

$x=a$λ₯Ό ν¬ν•¨ν•˜λŠ” μ–΄λ–€ 열린ꡬ간에 μ†ν•˜λŠ” λͺ¨λ“  x에 λŒ€ν•΄

1️⃣ $f(x)\leq f(a)$일 λ•Œ, f(x)λŠ” x=aμ—μ„œ κ·ΉλŒ€, f(a)λŠ” κ·ΉλŒ“κ°’

2️⃣ $f(x)\geq f(a)$일 λ•Œ, f(x)λŠ” x=aμ—μ„œ κ·Ήμ†Œ, f(a)λŠ” κ·Ήμ†Ÿκ°’

 

· κ·ΉλŒ“κ°’κ³Ό κ·Ήμ†Ÿκ°’μ„ 톡틀어 극값이라고 함

· κ·ΉλŒ“κ°’<κ·Ήμ†Ÿκ°’μΈ κ²½μš°λ„ μžˆλ‹€.

* λ―ΈλΆ„κ°€λŠ₯κ³Ό 상관 μ—†λ‹€κ³  생각

 

πŸ“š κ°œμ • μ „ κ΅μœ‘κ³Όμ • λ‚΄μš© β–Ό

더보기

πŸ“š κ°œμ • μ „ κ΅μœ‘κ³Όμ • λ‚΄μš©

ν•¨μˆ˜ f(x)κ°€ 연속일 λ•Œ, ν•¨μˆ˜μ˜ 증가/κ°μ†Œκ°€ λ°”λ€ŒλŠ” μˆœκ°„

κ·ΉλŒ€μ™€ κ·Ήμ†Œκ°€ 생김

첨점 λ“±μ—μ„œλ„ κ·ΉλŒ€, κ·Ήμ†Œκ°€ 생김

 

λ―ΈλΆ„κ°€λŠ₯ν•  λ•ŒλŠ” κΈ°μšΈκΈ°κ°€ 0

f'(a)=0일 λ•Œ x=aμ—μ„œ κ·ΉλŒ€/κ·Ήμ†Œκ°€ 생김

 

βž•μ‚Όμ°¨ν•¨μˆ˜ κ·Έλž˜ν”„ 그리기 (λŒ€λž΅μ μœΌλ‘œ)

μ‚Όμ°¨ν•¨μˆ˜ f(x)λ₯Ό μΈμˆ˜λΆ„ν•΄ν•΄μ„œ 0이 λ˜λŠ” x값을 3개 찾은 ν›„ κ·Έλž˜ν”„μ— ν‘œμ‹œ

→ $x^3$의 κ³„μˆ˜κ°€ μ–‘μˆ˜μ΄λ©΄ 였λ₯Έμͺ½ μœ„μ—μ„œλΆ€ν„° 각 점을 ν†΅κ³Όν•˜κ²Œ κ·Έλ¦Ό

→ $x^3$의 κ³„μˆ˜κ°€ 음수이면 였λ₯Έμͺ½ μ•„λž˜μ—μ„œλΆ€ν„° 각 점을 ν†΅κ³Όν•˜κ²Œ κ·Έλ¦Ό

 

β–² $y=-4x^3+4x$(빨간색), $y=4x^3-4x$(νŒŒλž€μƒ‰)의 κ·Έλž˜ν”„

 

λ™μΌν•œ μ›λ¦¬λ‘œ μΌμ°¨ν•¨μˆ˜, μ΄μ°¨ν•¨μˆ˜ 등도 그릴 수 있음!!

μΈμˆ˜λΆ„ν•΄ν•˜μ—¬ 0으둜 λ§Œλ“€ 수 μžˆλŠ” x값을 xμΆ• μœ„μ— λͺ¨λ‘ ν‘œμ‹œν•˜κ³ ,

μ΅œκ³ μ°¨ν•­μ˜ κ³„μˆ˜κ°€ μ–‘μˆ˜λ©΄ 였λ₯Έμͺ½ μœ„μ—μ„œ, 음수면 였λ₯Έμͺ½ μ•„λž˜μ—μ„œ 선을 κ·Έμ–΄ ν‘œμ‹œν•œ λͺ¨λ“  점을 ν†΅κ³Όν•˜λ„λ‘ 그리면 λœλ‹€!

* 제곱(λ˜λŠ” μ°¨μˆ˜κ°€ 짝수)이 ν¬ν•¨λ˜μ–΄ 있으면 (e.g. $y=(x-1)^2(x-2)$) ν†΅κ³Όν•˜μ§€ μ•Šκ³  휘게 κ·Έλ¦°λ‹€!

 

κ·Ήκ°’κ³Ό λ―ΈλΆ„κ³„μˆ˜

$f(x)$κ°€ x=aμ—μ„œ κ·Ήκ°’(κ·ΉλŒ€/κ·Ήμ†Œ)을 κ°–κ³  aλ₯Ό ν¬ν•¨ν•˜λŠ” μ–΄λ–€ μ—΄λ¦°κ΅¬κ°„μ—μ„œ λ―ΈλΆ„κ°€λŠ₯ν•˜λ©΄ $f'(a)=0$이닀.

πŸ“š μœ„μ˜ 역은 μ„±λ¦½ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€! (e.g. $f(x)=x^3$)

 

 

ν•¨μˆ˜μ˜ κ·ΉλŒ€μ™€ κ·Ήμ†Œμ˜ νŒμ •

λ―ΈλΆ„κ°€λŠ₯ν•œ ν•¨μˆ˜ f(x)에 λŒ€ν•΄ f'(a)=0이고 x=a의 μ’Œμš°μ—μ„œ

f'(x)κ°€ + → -일 λ•Œ f(x)λŠ” x=aμ—μ„œ κ·ΉλŒ€ (κ·ΉλŒ“κ°’: f(a))

f'(x)κ°€ - → +일 λ•Œ f(x)λŠ” x=aμ—μ„œ κ·Ήμ†Œ (κ·Ήμ†Ÿκ°’: f(a))

f'(x)κ°€ - → - / + → -일 λ•Œ 아무것도 μ•„λ‹˜