λ„ν•¨μˆ˜μ˜ ν™œμš© III

λ³Έ ν¬μŠ€νŒ…μ€ μŽˆλ‹·μ»΄ κΉ€μž¬μ€ μ„ μƒλ‹˜μ˜ μˆ˜ν•™II κ°•μ’Œλ₯Ό λ°”νƒ•μœΌλ‘œ μž‘μ„±ν–ˆμŒμ„ λ°νž™λ‹ˆλ‹€.

 

λ°©μ •μ‹μ—μ˜ ν™œμš©

λ°©μ •μ‹μ˜ μ‹€κ·Όμ˜ 개수

1️⃣ $f(x)=0$의 μ„œλ‘œ λ‹€λ₯Έ μ‹€κ·Όμ˜ 개수

$f(x)=0$의 μ‹€κ·Ό

→ $\begin{cases}y=f(x)\\y=0\end{cases}$의 ꡐ점의 xμ’Œν‘œ

→ $y=f(x)$의 x절편

⭐️ $y=f(x)$의 x절편의 개수 ($f(x)$의 κ·Έλž˜ν”„μ™€ xμΆ•μ˜ ꡐ점의 개수)

 

2️⃣ $f(x)=g(x)$의 μ„œλ‘œ λ‹€λ₯Έ μ‹€κ·Όμ˜ 개수

$f(x)=g(x)$의 μ‹€κ·Ό

→ $\begin{cases}y=f(x)\\y=g(x)\end{cases}$의 ꡐ점의 xμ’Œν‘œ

→ $\begin{cases}y=f(x)-g(x)\\y=0\end{cases}$의 ꡐ점의 xμ’Œν‘œ

→ $y=f(x)-g(x)$의 x절편

 

μ‚Όμ°¨λ°©μ •μ‹μ˜ 근의 νŒλ³„

β–Ά κ·Έλž˜ν”„ ν™œμš©!


πŸ“š Background

삼차방정식이 근을 κ°€μ§€λŠ” 3가지 경우

$ax^3+bx^2+cx+d=0\ (a>0)$

 

1️⃣ μ‹€κ·Ό 3개

ex) $(x-1)(x-2)(x-3)=0$

 

2️⃣ μ‹€κ·Ό 2개

(쀑근 1개, μ‹€κ·Ό 1개)

ex) $(x-1)^2(x-2)=0$

 

3️⃣ μ‹€κ·Ό 1개

πŸ…°οΈ 삼쀑근 (μ‹€κ·Ό 3κ°œκ°€ λ‹€ κ°™μŒ)

ex) $x^3=0$

πŸ…±οΈ μ‹€κ·Ό 1개, ν—ˆκ·Ό 2개

ex) $(x-1)(x^2+x+1)=0$


1️⃣ (κ·ΉλŒ“κ°’) × (κ·Ήμ†Ÿκ°’) < 0

β–Ά μ„œλ‘œ λ‹€λ₯Έ μ„Έ μ‹€κ·Ό (μ‹€κ·Ό 3개)

 

2️⃣ (κ·ΉλŒ“κ°’) × (κ·Ήμ†Ÿκ°’) = 0

β–Ά ν•œ μ‹€κ·Όκ³Ό 쀑근 (μ„œλ‘œ λ‹€λ₯Έ 두 μ‹€κ·Ό) (μ‹€κ·Ό 2개)

(x좕에 μ‚Όμ°¨ν•¨μˆ˜κ°€ 접함)

 

3️⃣ (κ·ΉλŒ“κ°’) × (κ·Ήμ†Ÿκ°’) > 0

β­οΈβ­οΈβž• μ‚Όμ°¨ν•¨μˆ˜κ°€ 극값을 갖지 μ•ŠλŠ” 경우(삼쀑근을 κ°–λŠ” κ²½μš°λ„ 있음)도 포함(μ‹€κ·Ό 1개)!βž•β­οΈβ­οΈ

β–Ά ν•œ μ‹€κ·Όκ³Ό 두 ν—ˆκ·Ό (μ‹€κ·Ό 1개)


λΆ€λ“±μ‹μ—μ˜ ν™œμš©

1️⃣ ν•¨μˆ˜ $f(x)$에 λŒ€ν•΄ μ–΄λ–€ κ΅¬κ°„μ—μ„œ $f(x)\geq 0$이 성립함을 보일 λ•Œ

β–Ά κ·Έ κ΅¬κ°„μ—μ„œ f(x)의 μ΅œμ†Ÿκ°’ ≥ 0μž„μ„ 보이면 됨!

 

2️⃣ 두 ν•¨μˆ˜ $f(x), g(x)$에 λŒ€ν•΄ μ–΄λ–€ κ΅¬κ°„μ—μ„œ $f(x)\geq g(x)$κ°€ 성립함을 보일 λ•Œ

β–Ά κ·Έ κ΅¬κ°„μ—μ„œ f(x)-g(x)λ₯Ό h(x)둜 두고 h(x)의 μ΅œμ†Ÿκ°’ ≥ 0μž„μ„ 보이면 됨!

 

βž• μ–΄λ–€ κ΅¬κ°„μ—μ„œ $f(x)$의 μ΅œμ†Ÿκ°’μ΄ a

→ $f(x) \geq a$


속도와 가속도

πŸ“š Background - 물리 κ°œλ…
속λ ₯: 슀칼라 λ¬Όλ¦¬λŸ‰ (μ–‘λ§Œ)
속도: 벑터 λ¬Όλ¦¬λŸ‰ (μ–‘, λ°©ν–₯)
속λ ₯ = |속도|

1️⃣ 평균 속도 $v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$

(μˆœκ°„) 속도: $\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}$ (제λͺ©μ˜ '속도' κ°œλ…)

πŸ“š λ„ν•¨μˆ˜ μ •μ˜ 볡슡
'λ„ν•¨μˆ˜' μ •μ˜: $\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dx}=f'(x)=y'=\frac{df(x)}{dx}$

πŸ“š Example

μ‹œκ°„ tμ—μ„œμ˜ μœ„μΉ˜ $x=t^2-3t+1$일 λ•Œ

1초일 λ•Œμ˜ 속도λ₯Ό κ΅¬ν•˜λ©΄?

더보기

μœ„μ˜ 식을 λ―ΈλΆ„ν•˜λ©΄ 2t-3μ΄λ―€λ‘œ t에 1을 λŒ€μž…ν•˜λ©΄ -1이닀.

∴ (μˆœκ°„) 속도: -1

2️⃣ 가속도 $a=\frac{dv}{dt}$

 

πŸ“š 정리

μœ„μΉ˜(x), 속도(v), 가속도(a) μ‚¬μ΄μ˜ 관계

 

Plus. 길이, 넓이, λΆ€ν”Όμ˜ λ³€ν™”μœ¨

μ‹œκ° t, 길이 l, 넓이 S, λΆ€ν”Ό V

1️⃣ 길이의 λ³€ν™”μœ¨

$\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta l}{\Delta t}=\frac{dl}{dt}$

 

2️⃣ λ„“μ΄μ˜ λ³€ν™”μœ¨

$\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta S}{\Delta t}=\frac{dS}{dt}$

 

3️⃣ λΆ€ν”Όμ˜ λ³€ν™”μœ¨

$\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta V}{\Delta t}=\frac{dV}{dt}$

 


EDITOR: SCIAN

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