ํ•จ์ˆ˜์˜ ์—ฐ์†

ํ•จ์ˆ˜์˜ ์—ฐ์†๊ณผ ๋ถˆ์—ฐ์†

๋‹ค์Œ ์กฐ๊ฑด์„ ๋ชจ๋‘ ๋งŒ์กฑ ์‹œํ‚ฌ ๋•Œ, $f(x)$๋Š” $x=a$์—์„œ ์—ฐ์†์ด๋ผ ํ•œ๋‹ค.

[1] ํ•จ์ˆ˜ $f(x)$๋Š” $x=a$์—์„œ ์ •์˜๋˜์–ด ์žˆ๋‹ค.

[2] ๊ทนํ•œ๊ฐ’ $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$๊ฐ€ ์กด์žฌํ•œ๋‹ค.

[3] $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$

 

โญ๏ธ $f(x)$๊ฐ€ $x=a$์—์„œ ์—ฐ์†์ผ ์กฐ๊ฑด ์ •๋ฆฌ (์•”๊ธฐ!) โญ๏ธ

โ–ถ ํ•จ์ˆ˜๊ฐ’๊ณผ ๊ทนํ•œ๊ฐ’์ด ์กด์žฌํ•˜๊ณ , ์ผ์น˜ํ•œ๋‹ค.

 

โ–ถ $\lim_{x\rightarrow a+}f(x)=\lim_{x\rightarrow a-}f(x)=f(a)$

 

ํŽธํ•˜๊ฒŒ ์ƒ๊ฐํ•ด ๋ณด์ž๋ฉด,

๊ทธ๋ž˜ํ”„๋ฅผ ์—ฐํ•„๋กœ ๊ทธ๋ฆด ๋•Œ ์—ฐํ•„์„ ๋–ผ์ง€ ์•Š๊ณ  ๊ทธ๋ž˜ํ”„๋ฅผ ์ญ‰ ๊ทธ๋ฆด ์ˆ˜ ์žˆ์œผ๋ฉด ์—ฐ์†,

์—ฐํ•„์„ ๋–ผ์•ผ ํ•˜๋ฉด ๋ถˆ์—ฐ์†์œผ๋กœ ์ƒ๊ฐํ•ด ๋ณผ ์ˆ˜ ์žˆ๋‹ค.

($x=a$์—์„œ ๊ทธ๋ž˜ํ”„๊ฐ€ ์ด์–ด์ ธ ์žˆ์œผ๋ฉด ์—ฐ์†, ๋Š์–ด์ ธ ์žˆ์œผ๋ฉด ๋ถˆ์—ฐ์†)

๋”๋ณด๊ธฐ
ํ•จ์ˆ˜์˜ ๋ถˆ์—ฐ์† CASE 3๊ฐ€์ง€
$f(a)$๊ฐ€ ์กด์žฌํ•˜์ง€ ์•Š์Œ
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$๊ฐ€ ์กด์žฌํ•˜์ง€ ์•Š์Œ
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)\neq f(a)$

 

* Image Credit: Erzbischof | Wikimedia Commons


์—ฐ์†ํ•จ์ˆ˜

๊ตฌ๊ฐ„ (โญ๏ธ์ง‘ํ•ฉโญ๏ธ)

๊ตฌ๊ฐ„์€ ์ง‘ํ•ฉ์ด๋‹ค!

์ง‘ํ•ฉ์—์„œ ๋“ฑํ˜ธ๊ฐ€ ์žˆ์œผ๋ฉด ๋‹ซํžŒ๊ตฌ๊ฐ„, ๋“ฑํ˜ธ๊ฐ€ ์—†์œผ๋ฉด ์—ด๋ฆฐ๊ตฌ๊ฐ„

$\{x\mid a\leq x\leq b\}$ $\{x\mid a\leq x\< b\}$ $\{x\mid a< x\leq b\}$ $\{x\mid a< x< b\}$
[a, b] [a, b) (a, b] (a, b)
๋‹ซํžŒ๊ตฌ๊ฐ„ ๋ฐ˜๋‹ซํžŒ๊ตฌ๊ฐ„ / ๋ฐ˜์—ด๋ฆฐ๊ตฌ๊ฐ„ ์—ด๋ฆฐ๊ตฌ๊ฐ„

์ง‘ํ•ฉ์—์„œ ๋ถ€๋“ฑํ˜ธ๊ฐ€ ํ•œ๊ฐœ์ด๋ฉด,

$\{x\mid x\leq a\}\Leftrightarrow (-\infty ,\ a]$ (๋ฌดํ•œ๋Œ€๋Š” ์ˆ˜๊ฐ€ ์•„๋‹ˆ๋ฏ€๋กœ ์—ด๋ฆฐ๊ตฌ๊ฐ„์œผ๋กœ ํ‘œํ˜„)

 

์‹ค์ˆ˜ ์ „์ฒด์˜ ์ง‘ํ•ฉ์€

$\{x\mid$ $x$๋Š” ๋ชจ๋“  ์‹ค์ˆ˜ $\}\Leftrightarrow (-\infty ,\ \infty )$ 

 

โญ๏ธ $\{x\mid x\neq 3$์ธ ๋ชจ๋“  ์‹ค์ˆ˜$\}$

→ $\{x\mid x< 3 or x>3\}$

→ $\{x\mid x< 3\} \cup \{x\mid x>3\}$

→ (-∞, 3)$\cup$(3, ∞)

 

ํ•จ์ˆ˜์˜ ์ข…๋ฅ˜๋ณ„ $f(x)$๊ฐ€ ์—ฐ์†์ธ ๊ตฌ๊ฐ„

[1] ๋‹คํ•ญํ•จ์ˆ˜

๋ชจ๋“  ์‹ค์ˆ˜ ๊ตฌ๊ฐ„(์ง‘ํ•ฉ)

 

[2] ์œ ๋ฆฌํ•จ์ˆ˜

{$x\mid$ ๋ถ„๋ชจ≠0}

 

[3] ๋ฌด๋ฆฌํ•จ์ˆ˜

{$x\mid$ ๊ทผํ˜ธ ์•ˆ≥0}

 

โญ๏ธ ์ฃผ์˜!

$\frac{3}{x^2+1}$์˜ ๊ทธ๋ž˜ํ”„

์—ฌ๊ธฐ์„œ๋„ ๋ถ„๋ชจ๊ฐ€ 0์ด ์•„๋‹ˆ๋ฉด ์—ฐ์†๋œ ๊ตฌ๊ฐ„์ด๋ผ๊ณ  ์ƒ๊ฐํ•  ์ˆ˜ ์žˆ์ง€๋งŒ,

x์— ์–ด๋–ค ์‹ค์ˆ˜๊ฐ€ ๋“ค์–ด๊ฐ€๋„ ๋ถ„๋ชจ๊ฐ€ ์ ˆ๋Œ€ 0์ด ๋˜์ง€ ์•Š์œผ๋ฏ€๋กœ ๋Š์–ด์ง„ ๊ตฌ๊ฐ„์ด ์—†๋‹ค!

์œ ๋ฆฌํ•จ์ˆ˜๋ผ๊ณ  ํ•ด์„œ ๋ชจ๋‘ ๋Š์–ด์ง„ ๋ถ€๋ถ„์ด ์žˆ๋Š” ๊ฒƒ์€ ์•„๋‹ˆ๋‹ค!

 

$\frac{3}{x^2+1}$์˜ ๊ทธ๋ž˜ํ”„

 


์—ฐ์†ํ•จ์ˆ˜์˜ ์„ฑ์งˆ

โญ๏ธโญ๏ธโญ๏ธโญ๏ธ ๋‘ ํ•จ์ˆ˜ $f(x), g(x)$๊ฐ€ $x=a$์—์„œ (๋‘˜ ๋‹ค) ์—ฐ์†์ด๋ฉด, โญ๏ธโญ๏ธโญ๏ธโญ๏ธ

์•„๋ž˜ ํ•จ์ˆ˜๋„ $x=a$์—์„œ ์—ฐ์†์ด๋‹ค.

* ์ „์ œ๊ฐ€ ์ค‘์š”!!

 

[1] ์‹ค์ˆ˜๋ฐฐ

$cf(x)$ (๋‹จ, c๋Š” ์ƒ์ˆ˜)

 

[2] ์‚ฌ์น™์—ฐ์‚ฐ

(1) $f(x)+g(x), f(x)-g(x)$

(2) $f(x)g(x)$

(3) $\frac{f(x)}{g(x)}$ (๋‹จ, $g(a)\neq 0$)

 

* ๋ชจ๋‘ ์—ญ์€ ์„ฑ๋ฆฝํ•˜์ง€ ์•Š๋Š”๋‹ค!

(์œ„์—์„œ ์•„๋ž˜๋กœ๋Š” ๊ฐ€๋Šฅํ•˜์ง€๋งŒ, ์•„๋ž˜์„œ ์œ„๋กœ๋Š” ์„ฑ๋ฆฝํ•˜์ง€ ์•Š๋Š”๋‹ค!)

 

โญ๏ธ ๋ฐ˜๋ก€ (๊ธฐ์–ต!)

๋”๋ณด๊ธฐ
y=f(x) y=g(x) f(x)+g(x)=0 f(x)×g(x)=-1

 

์—ฌ๊ธฐ์„œ f(x)์™€ g(x) ๋ชจ๋‘ ๋ถˆ์—ฐ์†์ด์ง€๋งŒ, f(x)+g(x)์™€ f(x)×g(x) ๋ชจ๋‘ ์—ฐ์†์ด๋ฏ€๋กœ ์œ„์˜ ์—ญ์€ ์„ฑ๋ฆฝํ•˜์ง€ ์•Š๋Š”๋‹ค!

 


์ตœ๋Œ€·์ตœ์†Œ ์ •๋ฆฌ

ํ•จ์ˆ˜ f(x)๊ฐ€ ๋‹ซํžŒ๊ตฌ๊ฐ„ [a, b]์—์„œ ์—ฐ์†์ด๋ฉด f(x)๋Š” ์ด ๊ตฌ๊ฐ„์—์„œ ๋ฐ˜๋“œ์‹œ ์ตœ๋Œ“๊ฐ’๊ณผ ์ตœ์†Ÿ๊ฐ’์„ ๊ฐ–๋Š”๋‹ค.

โญ๏ธ ์กฐ๊ฑด์ด ์ค‘์š” โญ๏ธ

์กฐ๊ฑด1) ๋‹ซํžŒ๊ตฌ๊ฐ„

์กฐ๊ฑด2) ์—ฐ์†

์ตœ๋Œ€·์ตœ์†Œ ์ •๋ฆฌ


์‚ฌ์ž‡๊ฐ’์˜ ์ •๋ฆฌ

ํ•จ์ˆ˜ f(x)๊ฐ€ ๋‹ซํžŒ๊ตฌ๊ฐ„ [a, b]์—์„œ ์—ฐ์†์ด๊ณ , f(a)≠f(b)์ด๋ฉด f(a)์™€ f(b) ์‚ฌ์ด์˜ ์ž„์˜์˜ ๊ฐ’ k์— ๋Œ€ํ•˜์—ฌ f(c)=k์ธ ๊ฒƒ์„ ๋งŒ์กฑํ•˜๋Š” ์‹ค์ˆ˜ c๊ฐ€ a์™€ b ์‚ฌ์ด์— ์ ์–ด๋„ ํ•˜๋‚˜ ์กด์žฌํ•œ๋‹ค.

โญ๏ธ ์กฐ๊ฑด์ด ์ค‘์š” โญ๏ธ

์กฐ๊ฑด1) ๋‹ซํžŒ๊ตฌ๊ฐ„

์กฐ๊ฑด2) ์—ฐ์†

์กฐ๊ฑด3) f(a)≠f(b)

์‚ฌ์ž‡๊ฐ’์˜ ์ •๋ฆฌ (๊ทธ๋ฆผ์—์„œ๋Š” k๋Œ€์‹  u๊ฐ€ ์‚ฌ์šฉ๋จ)

 

 ์‚ฌ์ž‡๊ฐ’์˜ ์ •๋ฆฌ์˜ ํ™œ์šฉ (์‘์šฉ ver.)

ํ•จ์ˆ˜ f(x)๊ฐ€ ๋‹ซํžŒ๊ตฌ๊ฐ„ [a, b]์—์„œ ์—ฐ์†์ด๊ณ , f(a)์™€ f(b)์˜ ๋ถ€ํ˜ธ๊ฐ€ ์„œ๋กœ ๋‹ค๋ฅด๋ฉด (f(a)×f(b)<0),

f(c)=0์ธ c(๋ฐฉ์ •์‹์˜ ์‹ค๊ทผ)๊ฐ€ a์™€ b ์‚ฌ์ด์— ์ ์–ด๋„ ํ•˜๋‚˜ ์กด์žฌํ•œ๋‹ค.

์‚ฌ์ž‡๊ฐ’์˜ ์ •๋ฆฌ์˜ ํ™œ์šฉ

* Image Credit: Picknick | Wikimedia Commons

์‚ฌ์ž‡๊ฐ’์˜ ์ •๋ฆฌ๋ฅผ ์ด์šฉํ•˜์—ฌ f(x)๊ฐ€ ์—ฐ์†ํ•จ์ˆ˜์ผ ๋•Œ ๋ฐฉ์ •์‹ f(x)=0์˜ ์‹ค๊ทผ ์กด์žฌ ์—ฌ๋ถ€ ํŒ๋ณ„ ๊ฐ€๋Šฅ!

 


EDITOR: SCIAN

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