μ–‘μžμ—­ν•™ (1) - 보어 μ›μžλͺ¨ν˜• (Bohr Model)


Intro

μš°λ¦¬λŠ” μΌλ°˜ν™”ν•™μ—μ„œ λ‹€λ£¨λŠ” μ–‘μžμ—­ν•™ μ€‘μ—μ„œ μ•”κΈ°ν•΄μ•Ό ν• , Point λΆ€λΆ„λ§Œμ„ 골라 ν•™μŠ΅ν•  것이닀.

μ–‘μžμ—­ν•™ μžμ²΄κ°€ μ ‘ν•˜κΈ°λ„ μ–΄λ ΅κ³ , μ΄ν•΄ν•˜κΈ°λŠ” λ”λ”μš± μ–΄λ ΅κΈ° λ•Œλ¬Έμ—, 특히 μ‹œν—˜μ„ μ•žλ‘” κ³Όν•™κ³ /μ˜μž¬ν•™κ΅μƒμ΄λ‚˜ λŒ€ν•™μƒμ€ μ•”κΈ°ν•˜λŠ” 데 쀑점을 λ‘˜ 것을 ꢌμž₯ν•œλ‹€. λ‹€λ§Œ, λ³Έ κΈ€μ—μ„œλŠ” μˆ˜μ‹μ  증λͺ…μ˜ 과정을 비ꡐ적 μƒμ„Ένžˆ μž‘μ„±ν•˜μ—¬ 풀이에도 집쀑할 수 μžˆλ„λ‘ ν•˜μ˜€λ‹€.

ν•„μž λ˜ν•œ 암기에 도움을 λ°›κ³ μž λ³Έ 글을 μž‘μ„±ν•œλ‹€. 본문은 λ…ΈνŠΈ 필기와 λΉ„μŠ·ν•œ λ°©μ‹μœΌλ‘œ μž‘μ„±λ  것이며, λ¬Έμž₯λ³΄λ‹€λŠ” μˆ˜μ‹ λ˜λŠ” 이미지 ν˜Ήμ€ κ°œμš”μ‹μ˜ ν…μŠ€νŠΈκ°€ μ€‘μ μ μœΌλ‘œ 배치될 것이닀. λ‹€λ§Œ, ν•„μš”ν•œ 경우 λ¬Έμž₯으둜 ν’€μ–΄μ„œ μ„€λͺ…ν•  수 μžˆλ‹€.

μ•žμœΌλ‘œ μ•½ 5~6개의 ν¬μŠ€νŒ…μ„ 톡해 μ–‘μžμ—­ν•™μ— λŒ€ν•΄ 배우게 (μ•”κΈ°ν•˜κ²Œ) 될 것이닀.

μ€€λΉ„κ°€ λ˜μ—ˆλ‹€λ©΄, μ•„λž˜λ‘œ μŠ€ν¬λ‘€μ„ λ‚΄λ¦¬μž!

 


보어 μ›μž λͺ¨ν˜•

μ›μžμ˜ ꡬ쑰λ₯Ό 마치 νƒœμ–‘κ³„μ²˜λŸΌ μ–‘μ „ν•˜λ₯Ό 띀 쑰그만 μ›μžν•΅ μ£Όμœ„λ₯Ό μ „μžλ“€μ΄ μ›ν˜• ꢀ도λ₯Ό 따라 돌고 μžˆλŠ” κ²ƒμœΌλ‘œ λ¬˜μ‚¬ν•˜λŠ” μ›μž λͺ¨ν˜•
— Wikipedia

(c) Wikimedia Commons (JabberWok)

 

λ³΄μ–΄μ˜ κ°€μ •

λ³΄μ–΄λŠ” μžμ‹ μ˜ μ›μžλͺ¨ν˜•μ— λŒ€ν•΄ λ‹€μŒκ³Ό 같은 가정을 ν•˜μ˜€λ‹€.

  1. μ „μžλŠ” νŠΉμ • ꢀ도(μ—λ„ˆμ§€ μ€€μœ„)μ—μ„œ μ›μš΄λ™ν•˜λ©°, ꢀ도 μ‚¬μ΄μ—λŠ” μ „μž μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€.
  2. ꡬ심λ ₯ = 원심λ ₯ (힘의 ν‰ν˜•)
    μ›μžν•΅κ³Ό μ „μž μ‚¬μ΄μ˜ 정전기적 인λ ₯, 즉 쿨둱의 힘이 μž‘μš©
    $\large Q=\frac{Z\cdot e^2}{4\pi \epsilon_0 \cdot r^2}$
    (이 λ•Œ, $Z$: μ›μžλ²ˆν˜Έ, $e$: μ „ν•˜λŸ‰, $\epsilon_0$: μœ μ „μœ¨, $r=r_n$; 즉 n번째 껍질의 λ°˜μ§€λ¦„)

    λ˜ν•œ, $\large Q= \frac{mv^2}{r}$을 λŒ€μž…ν•˜λ©΄ λ‹€μŒμ΄ μ„±λ¦½ν•œλ‹€.

    $\large \frac{mv^2}{r}=\frac{Ze^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}$
  3. μ „μžκ°€ λ‹€λ₯Έ κΆ€λ„λ‘œ 이동할 λ•Œ, μ „μžλŠ” μ—λ„ˆμ§€λ₯Ό λ°©μΆœν•˜κ±°λ‚˜ ν‘μˆ˜ν•œλ‹€.

 

μ—¬κΈ°μ„œ λ³΄μ–΄μ˜ κ°€μ • 1λ²ˆμ„ μ„€λͺ…ν•˜λ €λ©΄ 두 가지 κ°œλ…μ„ 이해할 ν•„μš”κ°€ μžˆλ‹€.

λ“œλΈŒλ‘œμ΄ 물질파

μ‰½κ²Œ λ§ν•˜μžλ©΄, μ–‘μžμ—­ν•™μ—μ„œ λ§ν•˜λŠ” 물질의 파μž₯으둜, λ‹€μŒκ³Ό 같은 μ‹μœΌλ‘œ λ‚˜νƒ€λ‚Ό 수 μžˆλ‹€.

 

$\large \lambda = \frac{h}{p}=\frac{h}{mv}$

μ›ν˜•μ •λ₯˜νŒŒ

ν—ˆμš©λœ 파μž₯이 μ •μˆ˜λ°°μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€.

$n\lambda = 2\pi r$

$\large r_n=\frac{n\lambda}{2\pi}$

 

A standing wave around the circumference of a circle.

 

μœ„μ—μ„œ μ„€λͺ…ν•œ λ“œλΈŒλ‘œμ΄ λ¬Όμ§ˆνŒŒμ™€ μ›ν˜•μ •λ₯˜νŒŒλ₯Ό μ΄μš©ν•˜λ©΄, νŠΉμ • ꢀ도에 μ „μžκ°€ ꡬ속됨을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€.

(λ‹€λ§Œ, μœ„μ˜ 두 λ‚΄μš©μ€ κ³ λ“± 물리학 λ²”μœ„μ΄λ―€λ‘œ μžμ„Ένžˆ μ–ΈκΈ‰ν•˜μ§€λŠ” μ•Šκ² λ‹€.)

 

이제, λ€Όλ“œλ² λ¦¬ 곡식에 λŒ€ν•΄ κ°„λ‹¨νžˆ μ†Œκ°œν•œ ν›„, μˆ˜μ†Œ μ›μžμ—μ„œ n번째 껍질의 μ—λ„ˆμ§€ μ€€μœ„($E_n$)λ₯Ό κ΅¬ν•˜λŠ” 과정을 정리해 보고자 ν•œλ‹€.

 

λ€Όλ“œλ² λ¦¬ 곡식

λ€Όλ“œλ² λ¦¬ 곡식은 μž…μž λ¬Όλ¦¬ν•™μ—μ„œ λŒ€λΆ€λΆ„μ˜ μ›μ†Œ μŠ€νŽ™νŠΈλŸΌ κ³„μ—΄μ˜ 파μž₯을 μ •ν™•ν•˜κ²Œ ꡬ할 수 μžˆλŠ” κ³΅μ‹μœΌλ‘œ, 1888λ…„ μŠ€μ›¨λ΄μ˜ μš”ν•˜λ„€μŠ€ λ€Όλ“œλ² λ¦¬κ°€ λ°œκ²¬ν•˜μ˜€λ‹€.
- Wikipedia - 
$\large \frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right)$

 

κ°μš΄λ™λŸ‰

$\large L=m\cdot v\cdot r_n=\frac{h}{\lambda}\cdot \frac{n\lambda}{2\pi}=\frac{nh}{2\pi}$

$\large r_n=\frac{n\cdot h}{2\pi\cdot m\cdot v}$

(이 λ•Œ, $n$: μ£Όμ–‘μžμˆ˜(μ „μžκ»μ§ˆ 번호), $h$: ν”Œλž‘ν¬ μƒμˆ˜ ($6.63\times 10^{-34}$ J/s), $m$: μ „μž 1개 μ§ˆλŸ‰, $v$: μ „μžμ˜ 속도)

 

이λ₯Ό $v$에 κ΄€ν•œ μ‹μœΌλ‘œ μ •λ¦¬ν•˜λ©΄,

$\large \color{red} {v=\frac{nh}{2\pi m r_n}}$

 

$r_n$ κ΅¬ν•˜κΈ°

μ•„κΉŒ μ–ΈκΈ‰ν•œ λ³΄μ–΄μ˜ 2번 κ°€μ • 식을 가져와 보자.

$\large \frac{mv^2}{r}=\frac{Ze^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}$

 

여기에 'κ°μš΄λ™λŸ‰' μ„Ήμ…˜μ—μ„œ κ΅¬ν•œ μ „μžμ˜ 속도 $v$λ₯Ό λŒ€μž…ν•˜κ³ , μ •λ¦¬ν•˜λ©΄ μ•„λž˜μ™€ 같은 식을 λ„μΆœν•  수 μžˆλ‹€.

$\large r_n=\frac{\epsilon_0 \cdot h^2}{\pi \cdot m \cdot e^2}\cdot\frac{n^2}{Z}$

 

이 λ•Œ, $\large \frac{\epsilon_0 \cdot h^2}{\pi \cdot m \cdot e^2}$을 λ³΄μ–΄λ°˜μ§€λ¦„ $\bf a_0$둜 μΉ˜ν™˜ν•˜λ©΄ λ‹€μŒκ³Ό 같이 μ •λ¦¬λœλ‹€.

 

$\large r_n=a_0\cdot\frac{n^2}{Z}$

 

μ—¬κΈ°μ„œ λ°”λ‹₯ μƒνƒœμ˜ μˆ˜μ†Œ μ›μžμ˜ 값을 λŒ€μž…ν•œ λ³΄μ–΄λ°˜μ§€λ¦„(λ°”λ‹₯ μƒνƒœμ˜ μˆ˜μ†Œ μ›μžμ˜ λ°˜μ§€λ¦„μ„ μ˜λ―Έν•¨; $a_0$)은 $5.292 \times 10^{−11} m$ (μ•½ 0.529 Å, 52.9 pm)이닀.

 

역학적 μ—λ„ˆμ§€ 보쑴

$E=E_k+E_p$

μœ„ 역학적 μ—λ„ˆμ§€ 보쑴 곡식에 $\large E_p=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 r}$, $\large E_k=\frac{1}{2}mv^2$을 λŒ€μž…ν•˜λ©΄,

 

$\large E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 r}$

 

λ³΄μ–΄μ˜ 2번 κ°€μ •μ—μ„œ

$\large \frac{mv^2}{r}=\frac{Ze^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}$ μ΄λ―€λ‘œ,

 

$\large mv^2=\frac{Ze^2}{4\pi \epsilon_0 r}$이닀.

 

이λ₯Ό μœ„μ˜ 역학적 μ—λ„ˆμ§€ 보쑴 식에 λ‹€μ‹œ λŒ€μž…ν•˜λ©΄,

 

$\large E=\frac{Ze^2}{8\pi \epsilon_0 \cdot r}-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 r}$

 

$\large E=-\frac{Ze^2}{8\pi \epsilon_0 \cdot r}$

 

여기에 '$r_n$ κ΅¬ν•˜κΈ°' μ„Ήμ…˜μ—μ„œ κ΅¬ν•œ r 값을 λŒ€μž…ν•˜λ©΄,

 

$\large E=-\frac{Z^2 e^2}{8\pi \epsilon_0\cdot a_0 \cdot n^2}=-\frac{e^2}{8\pi \epsilon_0 a_0} \cdot \frac{Z^2}{n^2}$

 

μ—¬κΈ°μ„œ, $-\frac{e^2}{8\pi \epsilon_0 a_0}$λ₯Ό R둜 μΉ˜ν™˜ν•˜λ©΄, λ‹€μŒκ³Ό 같은 식을 λ„μΆœν•  수 μžˆλ‹€.

 

$\large E=R\cdot \frac{Z^2}{n^2}$         ($R=-2.18\times 10^{-18}$J)

 

이λ₯Ό μ΄μš©ν•˜λ©΄, λ€Όλ“œλ² λ¦¬ 곡식을 λ„μΆœν•  수 μžˆλ‹€.

$\large \frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right)$

 


Intermission

이 ν¬μŠ€νŒ…μ„ 톡해 보어 μ›μž λͺ¨ν˜•κ³Ό κ°€μ • λ€Όλ“œλ² λ¦¬ 곡식, μˆ˜μ†Œ μ›μžμ˜ μ—λ„ˆμ§€ μ€€μœ„ 증λͺ… 과정에 λŒ€ν•΄ μ‚΄νŽ΄λ³΄μ•˜λ‹€.

λ‹€μŒ κΈ€μ—μ„œλŠ” 흑체 볡사에 λŒ€ν•΄ μ•Œμ•„λ³Ό 것이닀.

[λ‹€μŒ κΈ€] 2023.02.07 - [🏫 Study/Chemistry] - μ–‘μžμ—­ν•™ (2) - 흑체볡사, μžμ™Έμ„  νŒŒνƒ„

 

μ–‘μžμ—­ν•™ (2) - 흑체볡사, μžμ™Έμ„  νŒŒνƒ„

Intro μš°λ¦¬λŠ” μΌλ°˜ν™”ν•™μ—μ„œ λ‹€λ£¨λŠ” μ–‘μžμ—­ν•™ μ€‘μ—μ„œ μ•”κΈ°ν•΄μ•Ό ν• , Point λΆ€λΆ„λ§Œμ„ 골라 ν•™μŠ΅ν•  것이닀. μ–‘μžμ—­ν•™ μžμ²΄κ°€ μ ‘ν•˜κΈ°λ„ μ–΄λ ΅κ³ , μ΄ν•΄ν•˜κΈ°λŠ” λ”λ”μš± μ–΄λ ΅κΈ° λ•Œλ¬Έμ—, 특히 μ‹œν—˜μ„ μ•žλ‘” κ³Ό

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