μ–‘μžμ—­ν•™ (2) - 흑체볡사, μžμ™Έμ„  νŒŒνƒ„


Intro

μš°λ¦¬λŠ” μΌλ°˜ν™”ν•™μ—μ„œ λ‹€λ£¨λŠ” μ–‘μžμ—­ν•™ μ€‘μ—μ„œ μ•”κΈ°ν•΄μ•Ό ν• , Point λΆ€λΆ„λ§Œμ„ 골라 ν•™μŠ΅ν•  것이닀.

μ–‘μžμ—­ν•™ μžμ²΄κ°€ μ ‘ν•˜κΈ°λ„ μ–΄λ ΅κ³ , μ΄ν•΄ν•˜κΈ°λŠ” λ”λ”μš± μ–΄λ ΅κΈ° λ•Œλ¬Έμ—, 특히 μ‹œν—˜μ„ μ•žλ‘” κ³Όν•™κ³ /μ˜μž¬ν•™κ΅μƒμ΄λ‚˜ λŒ€ν•™μƒμ€ μ•”κΈ°ν•˜λŠ” 데 쀑점을 λ‘˜ 것을 ꢌμž₯ν•œλ‹€. λ‹€λ§Œ, λ³Έ κΈ€μ—μ„œλŠ” μˆ˜μ‹μ  증λͺ…μ˜ 과정을 비ꡐ적 μƒμ„Ένžˆ μž‘μ„±ν•˜μ—¬ 풀이에도 집쀑할 수 μžˆλ„λ‘ ν•˜μ˜€λ‹€.

ν•„μž λ˜ν•œ 암기에 도움을 λ°›κ³ μž λ³Έ 글을 μž‘μ„±ν•œλ‹€. 본문은 λ…ΈνŠΈ 필기와 λΉ„μŠ·ν•œ λ°©μ‹μœΌλ‘œ μž‘μ„±λ  것이며, λ¬Έμž₯λ³΄λ‹€λŠ” μˆ˜μ‹ λ˜λŠ” 이미지 ν˜Ήμ€ κ°œμš”μ‹μ˜ ν…μŠ€νŠΈκ°€ μ€‘μ μ μœΌλ‘œ 배치될 것이닀. λ‹€λ§Œ, ν•„μš”ν•œ 경우 λ¬Έμž₯으둜 ν’€μ–΄μ„œ μ„€λͺ…ν•  수 μžˆλ‹€.

μ•žμœΌλ‘œ μ•½ 5~6개의 ν¬μŠ€νŒ…μ„ 톡해 μ–‘μžμ—­ν•™μ— λŒ€ν•΄ 배우게 (μ•”κΈ°ν•˜κ²Œ) 될 것이닀.

μ€€λΉ„κ°€ λ˜μ—ˆλ‹€λ©΄, μ•„λž˜λ‘œ μŠ€ν¬λ‘€μ„ λ‚΄λ¦¬μž!

 


* 이전 편 (보어 λͺ¨ν˜• 편)을 보고 μ˜€μ‹œλŠ” 것을 ꢌμž₯λ“œλ¦½λ‹ˆλ‹€!

2023.02.07 - [🏫 Study/Chemistry] - μ–‘μžμ—­ν•™ (1) - 보어 μ›μžλͺ¨ν˜• (Bohr Model)

 

μ–‘μžμ—­ν•™ (1) - 보어 μ›μžλͺ¨ν˜• (Bohr Model)

Intro μš°λ¦¬λŠ” μΌλ°˜ν™”ν•™μ—μ„œ λ‹€λ£¨λŠ” μ–‘μžμ—­ν•™ μ€‘μ—μ„œ μ•”κΈ°ν•΄μ•Ό ν• , Point λΆ€λΆ„λ§Œμ„ 골라 ν•™μŠ΅ν•  것이닀. μ–‘μžμ—­ν•™ μžμ²΄κ°€ μ ‘ν•˜κΈ°λ„ μ–΄λ ΅κ³ , μ΄ν•΄ν•˜κΈ°λŠ” λ”λ”μš± μ–΄λ ΅κΈ° λ•Œλ¬Έμ—, 특히 μ‹œν—˜μ„ μ•žλ‘” κ³Ό

scian.xyz

 

흑체볡사

이번 λ‚΄μš©μ€ μ‹€ν—˜ 결과에 맞좰 λ§Œλ“€μ–΄μ§„(?) μ–΄λŠ μ •λ„λŠ” λΌμ›Œ λ§žμΆ°μ§„ κ²ƒμ²˜λŸΌ λ³΄μ΄λŠ” λ‚΄μš©μ΄ μžˆμ–΄ λΆ€μžμ—°μŠ€λŸ¬μšΈ 수 μžˆμœΌλ‚˜, 받아듀이도둝 λ…Έλ ₯ν•˜μž. (μ•”κΈ° 쀑점!)

 

흑체

흑체(blackbody)λŠ” 이둠상 λͺ¨λ“  빛을 ν‘μˆ˜ν•˜μ—¬ κ²€κ²Œ λ³΄μ΄λŠ” 물체λ₯Ό μ˜λ―Έν•œλ‹€.

 

μ—΄ν‰ν˜•κ³Ό μžμ™Έμ„  νŒŒνƒ„

ν‘μ²΄λŠ” μ—΄ν‰ν˜• μƒνƒœμ— 따라 λ‹€μŒκ³Ό 같이 파μž₯을 μ²˜λ¦¬ν•œλ‹€.

  • μ—΄ν‰ν˜• 도달 μ „: λͺ¨λ“  파μž₯의 별을 ν‘μˆ˜ν•œλ‹€.
  • μ—΄ν‰ν˜• 도달 ν›„: λͺ¨λ“  파μž₯을 방좜(볡사)ν•œλ‹€.

레일리-μ§„μŠ€ 법칙과 μžμ™Έμ„  νŒŒνƒ„(μžμ™ΈνŒŒνƒ„)

μœ„ κ·Έλ¦Όμ—μ„œ λ¬΄μ§€κ°œ μƒ‰μœΌλ‘œ 칠해진 λΆ€λΆ„μ—μ„œ μžμ™Έμ„  νŒŒνƒ„(μžμ™ΈνŒŒνƒ„μ΄λΌκ³ λ„ 함.)이 μΌμ–΄λ‚œλ‹€.

μœ„ 그림의 'Classical Theory' 뢀뢄이 고전적인 μ΄λ‘ μ—μ„œ '레일리-μ§„μŠ€ 법칙'에 μ˜ν•΄ 이상적인 ν‘μ²΄μ˜ 볡사 μ—λ„ˆμ§€λ₯Ό 계산할 λ•Œμ˜ κ·Έλž˜ν”„μΈλ°, 짧은 파μž₯λŒ€μ—μ„œ λ°œμƒν•˜λŠ” 였λ₯˜λ₯Ό 'μžμ™Έμ„  νŒŒνƒ„'이라고 ν•œλ‹€.

 

ν‘μ²΄μ—μ„œ 방좜된 볡사선

ν‘μ²΄μ—μ„œ 방좜된 볡사선은 흑체 μ˜¨λ„μ— μ˜μ‘΄ν•˜κ²Œ λœλ‹€.

  • 흑체 μ˜¨λ„κ°€ λ†’μœΌλ©΄ → 더 κ°•ν•œ μ—λ„ˆμ§€μ˜ λΉ› 방좜
    $M=\rho\cdot T^4$ (μŠˆν…ŒνŒ-볼츠만 법칙) [$J/m^2\cdot s$: λ‹¨μœ„ 면적당, μ΄ˆλ‹Ή λ°œμƒν•˜λŠ” μ—λ„ˆμ§€ μ΄λŸ‰]; μ—¬κΈ°μ„œλŠ” λΉ›μ˜ μ„ΈκΈ°λ₯Ό $\rho$둜 적음. (μ‹œκ·Έλ§ˆλ‘œ ν‘œν˜„ν•˜λŠ” κ²½μš°κ°€ λ§ŽκΈ°λŠ” 함.)
  • 흑체 μ˜¨λ„κ°€ λ†’μœΌλ©΄ → 더 짧은 파μž₯의 λΉ› 방좜
    $T\cdot \lambda_{max}=k$ (빈의 λ³€μœ„ 법칙)

* μŠˆν…ŒνŒ-볼츠만 법칙과 빈의 λ³€μœ„ 법칙은 κ³ λ“± 지ꡬ과학 λ²”μœ„μ΄λ―€λ‘œ μžμ„Έν•œ μ„€λͺ…은 μƒλž΅ν•œλ‹€. (ν•„μš”ν•œ 경우 μ•„λž˜ 슀크랩 및 μœ„ν‚€λ°±κ³Ό μ°Έκ³  — '더보기' 클릭)

더보기

 

이 λ•Œ, 흑체 속 μ§„λ™μž(μ „μžκΈ°νŒŒ) μˆ˜μ™€ 흑체 μ†μ—μ„œ λ°©μΆœν•˜λŠ” μ—λ„ˆμ§€λŠ” λ‹€μŒκ³Ό κ°™λ‹€.

레일리-μ§„μŠ€ λ²•μΉ™μ˜ 식을 λ―ΈλΆ„ν•œ 결과와 κ°™μœΌλ©°, κ·Έ μžμ„Έν•œ 증λͺ… 과정에 λŒ€ν•΄μ„œλŠ” μ•„λž˜ 링크된 ν•΄μ™Έ λ…Όλ¬Έ(Deriving the Rayleigh-Jeans Radiation Law)λ₯Ό μ°Έκ³ ν•˜λ„λ‘ ν•˜μž.

 

Deriving the Rayleigh-Jeans Radiation Law

The Rayleigh-Jeans Radiation Law was a useful, but not completely successful attempt at establishing the functional form of the spectra of thermal radiation. This formula fits the empirical …

chem.libretexts.org

 

흑체 속 μ§„λ™μž 수 (dN)

$dN=\frac{8\pi\nu^2}{c^3}d\nu$ (c: λΉ›μ˜ μ„ΈκΈ°, $\nu$ (λˆ„): μ§„λ™μˆ˜)

 

흑체 속 λ°©μΆœν•˜λŠ” μ—λ„ˆμ§€

$\rho=dN\times kT$ ($\rho$: λΉ›μ˜ μ„ΈκΈ°, $k$: 볼츠만 μƒμˆ˜)

여기에 μœ„ μ‹μ˜ dN을 λŒ€μž…ν•˜λ©΄, $\large \rho = \frac{8\pi\nu^2}{c^3}\cdot kT \cdot d\nu$둜, 레일리-μ§„μŠ€ 법칙 μ‹μ˜ λ―ΈλΆ„ κ²°κ³Όκ°€ λ‚˜μ˜€κ²Œ λœλ‹€.

이 μ‹μ—μ„œ λ¬Έμ œμ μ„ μ°Ύμ•„λ³΄μž.

 

이 μ‹μ˜ λ¬Έμ œμ μ€ 파μž₯이 짧아지면 $\nu$ 값이 컀지고($\nu$λŠ” μ§„λ™μˆ˜λ‘œ, κ³ λ“± 물리학 λ•Œ λ°°μ› λ˜ 파μž₯κ³Ό μ§„λ™μˆ˜ μ‚¬μ΄μ˜ 관계λ₯Ό λ– μ˜¬λ¦¬λ©΄ λœλ‹€.), 이에 따라 λΉ›μ˜ μ„ΈκΈ°κ°€ λ¬΄ν•œνžˆ μ»€μ§„λ‹€λŠ” λ¬Έμ œκ°€ λ°œμƒν•œλ‹€. 즉, μžμ™Έμ„  νŒŒνƒ„μ„ μ„€λͺ…ν•  수 μ—†λŠ” λ¬Έμ œκ°€ λ°œμƒν•˜λŠ” 것이닀!

(μž₯파μž₯인 κ²½μš°μ—μ„œλŠ” $\nu$값이 μž‘μ•„μ§€κ³ , λΉ›μ˜ μ„ΈκΈ°κ°€ 0에 μˆ˜λ ΄ν•˜κ²Œ λ˜μ–΄ μž₯파μž₯은 μ„€λͺ…이 κ°€λŠ₯ν•˜λ‹€.)

이제, λ§₯μŠ€μ›°-볼츠만 뢄포λ₯Ό μ μš©ν•΄ μ΄λŸ¬ν•œ 문제λ₯Ό μ²˜λ¦¬ν•΄ 보자.

 

λ§₯μŠ€μ›°-볼츠만 λΆ„ν¬μ˜ 적용

μœ„μ—μ„œ κ΅¬ν•œ $\rho$에 κ΄€ν•œ 식을 λ§₯μŠ€μ›°-볼츠만 뢄포와 적절히 μ„žμœΌλ©΄ μ•„λž˜μ™€ 같은 식을 λ„μΆœν•  수 μžˆλ‹€. (μžμ„Έν•œ μ „κ°œ 과정은 λ„˜μ–΄κ°€λ„λ‘ ν•˜κ² λ‹€.)

$\large \rho=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\left(\frac{1}{e^{h\nu / kt}-1}\right)d\nu$ (λ³Έ μ„Ήμ…˜μ—μ„œ νŽΈμ˜μƒ 'μœ„ 식'으둜 ν‘œν˜„ν•˜κ² λ‹€.)

 

μ—¬κΈ°μ„œ, 파μž₯이 κΈ΄ κ²½μš°μ™€ 짧은 경우λ₯Ό λ‚˜λˆ„μ–΄ μ‚΄νŽ΄λ³΄μž.

μž₯파μž₯μ—μ„œμ˜ 적용

파μž₯이 κΈ΄ κ²½μš°μ—λŠ”, $\nu$ 값이 μž‘μ•„μ§€κ²Œ 되고, $h\nu\ll kT$κ°€ λœλ‹€.

이λ₯Ό μœ„ 식에 μ μš©ν•˜κ²Œ 되면, $e^x\simeq 1+x$둜 근사할 수 있게 λ˜μ–΄ μœ„ μ‹μ˜ κ΄„ν˜Έ μ•ˆμ΄ $\frac{kT}{h\nu}$둜 κ·Όμ‚¬λœλ‹€.

이λ₯Ό λ‹€μ‹œ μœ„ 식에 λŒ€μž…ν•˜λ©΄,

$\large \rho= \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\times\frac{kT}{h\nu}\cdot d\nu = \frac{8\pi r^2}{c^3}\cdot kT \cdot d\nu$

 

즉, '흑체 속 λ°©μΆœν•˜λŠ” μ—λ„ˆμ§€' μ„Ήμ…˜μ—μ„œ 봀던 레일리-μ§„μŠ€ λ²•μΉ™μ˜ 미뢄식을 λ‹€μ‹œ λ³Ό 수 μžˆλ‹€! (μž₯파μž₯은 λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ μ„€λͺ…ν•  수 있음)

κ·Έλ ‡λ‹€λ©΄, 레일리-μ§„μŠ€ λ²•μΉ™μ˜ λ―ΈλΆ„μ‹μ—μ„œμ˜ μžμ™Έμ„  νŒŒνƒ„ 였λ₯˜λ₯Ό μ„€λͺ…ν•˜κΈ° μœ„ν•΄ 파μž₯이 짧은 경우λ₯Ό μ‚΄νŽ΄λ³΄μž.

 

λ‹¨νŒŒμž₯μ—μ„œμ˜ 적용

λ‹¨νŒŒμž₯μ—μ„œλŠ” $\nu$ 값이 μ»€μ§€κ²Œ λœλ‹€.

이에, μœ„ μ‹μ—μ„œμ˜ κ΄„ν˜Έ μ•ˆ, 즉 $\left(\frac{1}{e^{h\nu / kt}-1}\right)$이 0에 μˆ˜λ ΄ν•˜κ²Œ 되고, 이λ₯Ό μœ„ 식에 λŒ€μž…ν•˜λ©΄

$\rho=0$이 λ˜μ–΄, μžμ™Έμ„  νŒŒνƒ„μ„ μ„€λͺ…ν•  수 있게 λœλ‹€!

 


Intermission

이 ν¬μŠ€νŒ…μ—μ„œλŠ” 흑체 볡사와 μžμ™Έμ„  νŒŒνƒ„μ— λŒ€ν•΄ μ•Œμ•„λ³΄μ•˜κ³ , μžμ™Έμ„  νŒŒνƒ„μ„ μ„€λͺ…ν•˜λŠ” 방법에 λŒ€ν•΄ μ†Œκ°œν•˜μ˜€λ‹€.

λ‹€μŒ ν¬μŠ€νŒ…μ—μ„œλŠ” μŠˆλ’°λ”©κ±°μ˜ νŒŒλ™ 방정식에 λŒ€ν•΄ μ‚΄νŽ΄λ³΄λ„λ‘ ν•˜κ² λ‹€.

μƒλ‹Ήνžˆ μˆ˜μ‹μ μΈ 뢀뢄이 λ§ŽμœΌλ‹ˆ 마음의 μ€€λΉ„(?)κ°€ ν•„μš”ν•  것이닀.