μ–‘μžμ—­ν•™ (4) - 1차원 μƒμž 속 μž…μž


Intro

μš°λ¦¬λŠ” μΌλ°˜ν™”ν•™μ—μ„œ λ‹€λ£¨λŠ” μ–‘μžμ—­ν•™ μ€‘μ—μ„œ μ•”κΈ°ν•΄μ•Ό ν• , Point λΆ€λΆ„λ§Œμ„ 골라 ν•™μŠ΅ν•  것이닀.

μ–‘μžμ—­ν•™ μžμ²΄κ°€ μ ‘ν•˜κΈ°λ„ μ–΄λ ΅κ³ , μ΄ν•΄ν•˜κΈ°λŠ” λ”λ”μš± μ–΄λ ΅κΈ° λ•Œλ¬Έμ—, 특히 μ‹œν—˜μ„ μ•žλ‘” κ³Όν•™κ³ /μ˜μž¬ν•™κ΅μƒμ΄λ‚˜ λŒ€ν•™μƒμ€ μ•”κΈ°ν•˜λŠ” 데 쀑점을 λ‘˜ 것을 ꢌμž₯ν•œλ‹€. λ‹€λ§Œ, λ³Έ κΈ€μ—μ„œλŠ” μˆ˜μ‹μ  증λͺ…μ˜ 과정을 비ꡐ적 μƒμ„Ένžˆ μž‘μ„±ν•˜μ—¬ 풀이에도 집쀑할 수 μžˆλ„λ‘ ν•˜μ˜€λ‹€.

ν•„μž λ˜ν•œ 암기에 도움을 λ°›κ³ μž λ³Έ 글을 μž‘μ„±ν•œλ‹€. 본문은 λ…ΈνŠΈ 필기와 λΉ„μŠ·ν•œ λ°©μ‹μœΌλ‘œ μž‘μ„±λ  것이며, λ¬Έμž₯λ³΄λ‹€λŠ” μˆ˜μ‹ λ˜λŠ” 이미지 ν˜Ήμ€ κ°œμš”μ‹μ˜ ν…μŠ€νŠΈκ°€ μ€‘μ μ μœΌλ‘œ 배치될 것이닀. λ‹€λ§Œ, ν•„μš”ν•œ 경우 λ¬Έμž₯으둜 ν’€μ–΄μ„œ μ„€λͺ…ν•  수 μžˆλ‹€.

μ•žμœΌλ‘œ μ•½ 3~4개의 ν¬μŠ€νŒ…μ„ 톡해 μ–‘μžμ—­ν•™μ— λŒ€ν•΄ 배우게 (μ•”κΈ°ν•˜κ²Œ) 될 것이닀.

μ€€λΉ„κ°€ λ˜μ—ˆλ‹€λ©΄, μ•„λž˜λ‘œ μŠ€ν¬λ‘€μ„ λ‚΄λ¦¬μž!

 


* 이전 편 (μŠˆλ’°λ”©κ±° νŒŒλ™λ°©μ •μ‹ 편)을 보고 μ˜€μ‹œλŠ” 것을 ꢌμž₯λ“œλ¦½λ‹ˆλ‹€!

2023.02.09 - [🏫 Study/Chemistry] - μ–‘μžμ—­ν•™ (3) - μŠˆλ’°λ”©κ±° νŒŒλ™ 방정식

 

μ–‘μžμ—­ν•™ (3) - μŠˆλ’°λ”©κ±° νŒŒλ™ 방정식

Intro μš°λ¦¬λŠ” μΌλ°˜ν™”ν•™μ—μ„œ λ‹€λ£¨λŠ” μ–‘μžμ—­ν•™ μ€‘μ—μ„œ μ•”κΈ°ν•΄μ•Ό ν• , Point λΆ€λΆ„λ§Œμ„ 골라 ν•™μŠ΅ν•  것이닀. μ–‘μžμ—­ν•™ μžμ²΄κ°€ μ ‘ν•˜κΈ°λ„ μ–΄λ ΅κ³ , μ΄ν•΄ν•˜κΈ°λŠ” λ”λ”μš± μ–΄λ ΅κΈ° λ•Œλ¬Έμ—, 특히 μ‹œν—˜μ„ μ•žλ‘” κ³Ό

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1차원 μƒμž 속 μž…μž

1차원 μƒμž 속 μž…μžμ˜ μ „μž 발견 ν™•λ₯ μ— λŒ€ν•΄ μ‚΄νŽ΄λ³΄μž.

μš°μ„ , $\psi(x)$λ₯Ό μ΄μš©ν•΄ κ΅¬ν•˜λ©΄ ν™•λ₯ μ΄ μŒμˆ˜κ°€ λ‚˜μ˜¬ 수 μžˆμœΌλ―€λ‘œ, κ·Έλƒ₯ λ‹₯치고 μ œκ³±ν•˜μž.

그러면, μ „μž 발견 ν™•λ₯ μ€ $\psi(x)^2$이 λœλ‹€.

 

이제 3가지 쑰건을 μ‚΄νŽ΄λ³΄μž.

 

물리적 쑰건 ⭐️

μ•„λž˜ 적뢄식 ν•˜λ‚˜λ₯Ό κΈ°μ–΅ν•΄ 두도둝 ν•˜μž.

$\int^{L}_{0}\psi(x)^2dx=1$

 

경계 쑰건 ⭐️

$\psi(x)=A\sin kx +  B\cos kx$

이 λ•Œ, x=0이면 $\psi(0)=0$이고, $B=0$이어야 ν•œλ‹€.

x=L이면 $\psi(L)=0$이며, $A\neq 0$이어야 ν•œλ‹€.

κ·Έλ ‡λ‹€λ©΄, x=L인 μƒν™©μ—μ„œ $\sin kL=0$이어야 ν•˜κ³ , 이λ₯Ό λ§Œμ‘±μ‹œν‚€κΈ° μœ„ν•΄μ„œλŠ” $kL=n\pi$μ—¬μ•Ό ν•œλ‹€.

이λ₯Ό k에 λŒ€ν•΄ μ •λ¦¬ν•˜λ©΄, $k=\frac{n\pi}{L}$이고, 이λ₯Ό $\psi(x)$에 λŒ€μž…ν•˜λ©΄,

$\large \psi(x)=A \sin \frac{n\pi}{L}\cdot x$

 

μˆ˜ν•™μ  쑰건

μ΄λŠ” λͺ¨λ“  μœ„μΉ˜μ—μ„œ $\psi(x)$κ°€ μ—°μ†μž„μ— λŒ€ν•œ κ²ƒμœΌλ‘œ, κ°„ν˜Ή μˆ˜μ‹μ  과정이 μ‹œν—˜μ— λ‚˜μ˜¬ 수 μžˆμœΌλ‹ˆ μœ μ˜ν•˜μž.

 

$\large \int^L_0 A^2\sin^2\left(\frac{n\pi}{L}x\right)dx$

 

$\therefore A^2\frac{L}{2}=1$

 

$A=\sqrt{\frac{2}{L}}$

 

이 A 값을 $\psi(x)$에 λŒ€μž…ν•˜λ©΄,

$\large \psi(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi}{L}x$

 

μœ„ 식을 두 번 λ―ΈλΆ„ν•˜λ©΄,

$\large \frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=-\frac{n^2\pi^2}{L^2}\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi}{L}x$

 

$\large \frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=-\frac{n^2\pi^2}{L^2}\cdot \psi(x)$

 

양변에 $\large -\frac{h^2}{8\pi^2m}$을 κ³±ν•˜λ©΄,

 

$\large -\frac{h^2}{8\pi^2m}\cdot \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x)$

 

$\large \frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=-\frac{8\pi^2m}{h^2}E\psi(x)$

 

$\large -\frac{n^2\pi^2}{L^2}\cdot \psi(x)=-\frac{8\pi^2m}{h^2}E\psi(x)$

 

$\large E=\frac{n^2h^2}{8mL^2}$

 


Intermission

λ³Έ ν¬μŠ€νŒ…μ—μ„œλŠ” 1차원 μƒμž 속 μž…μžμ˜ μ „μž 발견 ν™•λ₯ μ— λŒ€ν•΄ λ‹€λ€˜λ‹€.

λ‹€μŒ ν¬μŠ€νŒ…μ—μ„œλŠ” 3μ°¨μ›μœΌλ‘œ λ„˜μ–΄κ°€ 보자.