양자역학 (3) - 슈뢰딩거 파동 방정식

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Intro

우리는 일반화학에서 다루는 양자역학 중에서 암기해야 할, Point 부분만을 골라 학습할 것이다.

양자역학 자체가 접하기도 어렵고, 이해하기는 더더욱 어렵기 때문에, 특히 시험을 앞둔 과학고/영재학교생이나 대학생은 암기하는 데 중점을 둘 것을 권장한다. 다만, 본 글에서는 수식적 증명의 과정을 비교적 상세히 작성하여 풀이에도 집중할 수 있도록 하였다.

필자 또한 암기에 도움을 받고자 본 글을 작성한다. 본문은 노트 필기와 비슷한 방식으로 작성될 것이며, 문장보다는 수식 또는 이미지 혹은 개요식의 텍스트가 중점적으로 배치될 것이다. 다만, 필요한 경우 문장으로 풀어서 설명할 수 있다.

앞으로 약 3~4개의 포스팅을 통해 양자역학에 대해 배우게 (암기하게) 될 것이다.

준비가 되었다면, 아래로 스크롤을 내리자!

 

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* 이전 편 (흑체 복사 편)을 보고 오시는 것을 권장드립니다!

2023.02.07 - [🏫 Study/Chemistry] - 양자역학 (2) - 흑체복사, 자외선 파탄

양자역학 (2) - 흑체복사, 자외선 파탄

 

특히 이번 편은 밑도 끝도 없이 (?) 제곱을 하는 등 상당히 부자연스럽게 전개되는 과정이 많을 수 있다.

이번 편 만큼은 그냥 과정의 암기 정도를 목적으로 하는 것이 좋을 것으로 보인다.

 

슈뢰딩거 파동 방정식

슈뢰딩거 파동 방정식. 간지용.

전자가 파동성을 갖는 것에 대한 슈뢰딩거 파동 방정식을 두 번 미분해 보자.

$\large \psi(x)=A\cdot \sin(\frac{2\pi}{\lambda}\cdot x)$

 

$\large \frac{d\psi(x)}{dx}=\frac{2\pi}{\lambda}A\cos(\frac{2\pi}{\lambda}x)$

 

$\large \frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=-\frac{4\pi^2}{\lambda^2}A\sin(\frac{2\pi}{\lambda}x)=-\frac{4\pi^2}{\lambda^2}\psi(x)$

 

여기서, $\lambda=\frac{h}{p}$이므로, 이를 대입하면,

$\large \frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=-\frac{4\pi^2p^2}{h^2}\psi(x)$

 

이를 p에 대해 정리하여 $p^2=2m(E-v(x))$에 대입하면,

$\large \frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=-\frac{8\pi^2m}{h^2}(E-v(x))\psi(x)$

 

$\large \left(-\frac{h^2}{8\pi^2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+v(x)\right)\psi(x)=E\psi(x)$

 

위 식에서 좌변의 괄호친 부분을 H(헤밀토니안 연산자)로 치환하면,

$H\cdot \psi(x)=E\psi(x)$

 

그냥 이런게 있다...

 

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Intermission

이번 포스팅은 다음 포스팅의 준비 단계라고 볼 수 있다.

다음 포스팅으로 넘어가자..

(슈뢰딩거의 고양이는 안보여줄꺼당)