도함수의 활용 I (1) - 접선의 방정식

접선의 방정식

접선의 기울기

곡선 $f(x)$ 위의 점 $P(a, f(a))에서의 접선의 기울기는 x=a에서의 미분계수 $f'(a)$와 같다.

접선의 개수 = 접점의 개수 = 접점의 x좌표의 개수

 

접선의 기울기 (파란색 곡선: $y=f(x)$)

접선의 방정식

📚Background

기울기가 m이고, $(x_1,y_1)$을 지나는 직선의 방정식

: $y=m(x-x_1)+y_1$

 

위의 배경지식을 이용하면,

함수 f(x)가 x=a에서 미분가능할 때, 곡선 y=f(x) 위의 점 P(a, f(a))에서의 접선의 방정식

: $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ (이항하기 전 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$)

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접선의 방정식을 구하는 방법

I. 접점을 주고 구하기

$y=f(x)$ 위의 점 $(a,f(a))$에서의 접선의 방정식 구하기

 

📚Step 1.

접선의 기울기 $f'(a)$ 구하기

 

📚Step 2.

$f'(a)$를 $y=f'(a)(x-a)+f(a)$에 대입하기

 

II. 접선의 기울기를 주고 구하기

$y=f(x)$에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식 구하기

 

📚Step 1.

접점의 좌표를 $(a, f(a))$로 두기

 

📚Step 2.

$f'(a)=m$을 이용

→ a 값 구하기

 

📚Step 3.

a 값을 $y-f(a)=m(x-a)$에 대입

 

III. 외부의 한 점을 주고 구하기💎 어려운 유형 💎

$y=f(x)$ 바깥의 한 점 $(x_1,y_1)$에서 곡선에 그은 접선의 방정식 구하기 (외부의 한 점에서 그은 접선의 방정식 구하기)

: 미지수를 이용하여 $y=f'(a)(x-a)+f(a)$를 먼저 두고 풀기!

 

📚Formal Steps ↓

📚Step 1.

접점의 좌표를 $(a, f(a))$로 두기

 

📚Step 2.

접선의 기울기 $f'(a)$ 구하기

 

📚Step 3.

$y-f(a)=f'(a)(x-a)$가 점 $(x_1, y_1)$을 지남을 이용하여 a 값 구하기

 

📚Step 4.

a 값을 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$에 대입

 

⚡️Steps

📚Step 1.

접점의 좌표와 기울기를 각각 $(a, f(a))$,$f'(a)$로 두기

 

📚Step 2.

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$ 식을 두고 📚Step 1.의 좌표와 기울기를 대입하여 정리하기

 

📚Step 3.

 

📚Step 2.의 식에 주어진 외부의 한 점을 대입하여 좌표와 기울기, 접선의 방정식 구하기

 

⭐️ 이차곡선의 외부의 한 점에서 접점을 그으면 항상 2개가 나옴! ⭐️

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공통인 접선

x=t에서 y=f(x)와 y=g(x)가 접한다

↔ x=t에서 y=f(x)와 y=g(x)가 공통인 접선을 가진다

▶ $f(t)=g(t)$

▶ $f'(t)=g'(t)$

 

💎접점은 다르지만, 같은 접선을 공유하는 문제도 출제될 수 있음 (출제 빈도는 위 유형(접점도 같은 유형)이 더 높음)💎

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EDITOR: SCIAN https://blog.scian.io/ admin@scian.io IT LOVER | DEVELOPER | ARTIST MATH & SCIENCE