[Calculus] 중요한 함수들의 테일러(매클로린) 급수

$e^x$에 대한 매클로린 급수$e^x=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^n}{n!}=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots$ $\sin x$에 대한 매클로린 급수$\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots$ $\cos x$에 대한 매클로린 급수sin x에 대한 매클로린 급수를 미분하는 방식을 사용하면 쉽게 구할 수 있다. $\cos x = \dfrac{d}{dx} (\sin x) = \dfrac..

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• · 2025. 6. 15.
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[일반물리학] 뉴턴의 만유인력 법칙과 케플러 법칙

만유인력 법칙우주의 모든 입자는 서로를 끌어당기는 힘을 갖는다.이를 공식으로 나타내면 다음과 갖다.$F_g=G\dfrac{m_1m_2}{r^2}$이때 $G=6.674\times 10^{-11}N\cdot m^2/kg^2$ (역제곱 법칙)벡터 꼴로 나타내면, $\overrightarrow{F}_{12} = -G\dfrac{m_1m_2}{r^2}\hat{r}_{12}$ (작용-반작용 쌍)지구와 같은 경우, $F_g=G\dfrac{M_Em}{R_E^2}$로 나타낼 수 있음.케플러 법칙케플러 제1법칙 - 타원 궤도 법칙모든 행성은 태양을 하나의 초점으로 하는 타원 궤도를 돈다.이때, 타원 중심에서 초점까지의 거리: $c$, 장반경: $a$, 단반경: $b$, 이심률 $e=\dfrac{c}{a}$ (원 궤도는 $..

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• · 2025. 6. 11.
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[일반물리학] 토크와 각운동량 보존 법칙

토크 (torque)토크(돌림힘) $\tau \equiv rF\sin\phi$ [N·M]벡터곱(외적)을 이용한 토크의 정의$\overrightarrow{\tau}\equiv\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$뉴턴 제 2법칙$\sum \tau_{ext}=I\alpha$일-에너지 정리$W=\Delta K_R$각운동량 (angular momentum)정의$\overrightarrow{L}\equiv\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{p}$ [$kg\cdot m^2 / s$]강체 전체의 각운동량$L=I\omega$각운동량 보존 법칙외부에서 작용한 토크가 0이면, 각운동량은 보존된다. 즉,$L_i = L_f$강체의 구름 운동 (rol..

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• · 2025. 6. 11.
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[일반물리학] 회전 운동 에너지와 관성 모멘트

회전 운동 에너지회전 운동에서도 운동 에너지가 존재함.이때 회전 운동 에너지 $K_R=\frac{1}{2}\sum_i m_i r_i^2 \omega^2$여기에 아래 관성 모멘트를 적용하여 충분한 미소 질량을 잡으면,$K_R=\frac{1}{2}I\omega^2$관성 모멘트 (moment of inertia)회전 운동을 유지하려는 정도, 질량의 분포와 회전축까지의 거리의 제곱에 비례물체의 형태와 질량 분포에 따라 다름$I=\sum m_i r_i^2$Thin cylindrical shell$I_{CM}=MR^2$Hollow Cylinder$I_{CM}=\frac{1}{2}M\left(R_1^2+R_2^2\right)$Solid cylinder or disk$I_{CM}=\frac{1}{2}MR^2$Recta..

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• · 2025. 6. 11.
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[일반물리학] 각위치, 각속도, 각가속도

각위치 (angular position)→ $r$과 기준선이 이루는 각도$\theta=\frac{s}{r}$ [rad]각변위(angular displacement) $\Delta\theta=\theta_f-\theta_i$ 각속도 (angular speed)평균각속도$\omega_{avg}\equiv\frac{\theta_f-\theta_i}{t_f-t_i}=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}$ [rad/s]순간각속도$\omega\equiv\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\frac{d\theta}{dt}$ [rad/s]각가속도 (angular acceleration)평균각가속도$\alpha_{avg}\equiv\frac{\o..

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• · 2025. 6. 11.
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[Calculus] 근판정법과 비판정법, 멱급수(거듭제곱급수)

근판정법과 비판정법Root Test and Ratio Test\begin{align*}\text{Let } L = \begin{cases}\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| & \text{(for ratio test)} \\\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} & \text{(for root test)}\end{cases}\end{align*} 이때, $\sum_{n = 1}^\infty a_n$은 L하며, L>1에서 발산한다.L=1인 경우, 별도의 고려가 필요하다. 멱급수 (거듭제곱급수)Power Series$\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n$ → a가 중심이 되는 멱급수수렴반경 (interval..

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• · 2025. 6. 8.
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