[대학물리학] 물체의 속도에 비례하는 저항력

물체의 속도에 비례하는 저항력 — 증명

물체가 어떤 액체 속에서 낙하한다고 생각해 봤을 때, 물체에 작용하는 저항력과 중력이 평형을 이루면 공은 종단 속력에 가까워지게 된다.

이 때, 특정한 시간에서의 속력을 구하는 식에 대해 증명하고자 한다. (미분방정식 풀이)

증명할 식: $v=v_T(1-e^{-t/\tau})=\frac{mg}{b}(1-e^{-bt/m})$

 

종단속력 $v_T$: 물체의 최대 속력(저항과 중력이 동일해질 때)

$\tau$: 시간 상수, $\tau=\frac{m}{b}$; t=0에서 놓인 물체가 종단 속력의 63.2%에 도달할 때까지의 시간

(여기서 63.2%=0.632=$1-e^{-1}$)

$\frac{mg}{b}=v_T$

 

$mg-bv_T=0$

 

$\therefore v_T=\frac{mg}{b}$

 

$mg-bv=ma=m\frac{dv}{dt}$

 

$mg-bv=m\frac{dv}{dt}$

 

$dt=\frac{m}{mg-bv}dv$

 

$\int_{0}^{t} dt=\int_{0}^{v}\frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}$

 

$t=\big[-\frac{m}{b}\ln(g-\frac{b}{m}v)\big]^v_0$

 

$t=-\frac{m}{b}\ln\big(\frac{g-\frac{b}{m}v}{g}\big)$

 

$-\frac{b}{m}t=\ln\big(1-\frac{b}{mg}v\big)$

 

$1-\frac{b}{mg}v=e^{-\frac{bt}{m}}$

 

$\frac{b}{mg}v=1-e^{-\frac{bt}{m}}$

 

$\therefore v=\frac{mg}{b}\big(1-e^{-\frac{bt}{m}}\big)$