[일반물리학] 뉴턴의 만유인력 법칙과 케플러 법칙

만유인력 법칙

• 우주의 모든 입자는 서로를 끌어당기는 힘을 갖는다.
• 이를 공식으로 나타내면 다음과 갖다.
  $F_g=G\dfrac{m_1m_2}{r^2}$
• 이때 $G=6.674\times 10^{-11}N\cdot m^2/kg^2$ (역제곱 법칙)
• 벡터 꼴로 나타내면, $\overrightarrow{F}_{12} = -G\dfrac{m_1m_2}{r^2}\hat{r}_{12}$ (작용-반작용 쌍)
• 지구와 같은 경우, $F_g=G\dfrac{M_Em}{R_E^2}$로 나타낼 수 있음.

케플러 법칙

케플러 제1법칙 - 타원 궤도 법칙

• 모든 행성은 태양을 하나의 초점으로 하는 타원 궤도를 돈다.
• 이때, 타원 중심에서 초점까지의 거리: $c$, 장반경: $a$, 단반경: $b$, 이심률 $e=\dfrac{c}{a}$ (원 궤도는 $e=0$, 타원형은 $0<e<1$)
• 근일점(Perihelion): 태양과 가장 가까운 점
• 원일점(Aphelion): 태양과 가장 먼 점

케플러 제2법칙 - 면적 속도 일정 법칙 ⭐

증명 문제로 잘 출제되는 파트

• 태양과 행성을 잇는 선(반지름 벡터)이 같은 시간동안 쓸고 지나가는 면적은 항상 같다.
• 각운동량 보존 법칙을 이용하여 설명 가능, 행성의 속도가 궤도 위치에 따라 달라진다는 것을 의미함.
  • $L=\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{p}=M_p\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{v}=\text{constant}$

케플러 제3법칙 - 조화의 법칙

• 행성의 공전 주기의 제곱은 궤도 장반경의 세제곱에 비례함.
• $T^2 \propto a^3$
• 태양 주위를 도는 모든 행성에 대해 $\dfrac{T^2}{a^3}$ 값이 일정함.
• $T^2=\left(\dfrac{4\pi^2}{GM_s}\right)a^3=K_sa^3$ (이때, $K_s$는 행성의 질량과 무관. 즉, 모든 행성에 대해 유효함)

탈출 속도

중력장을 벗어나기 위한 최소 속도. 물체의 질량 및 방향과 무관함.

$v_{esc}=\sqrt{2GM/R}$ (이때 R과 M은 각각 행성의 반지름과 질량)