🏫 Study/μˆ˜ν•™ II

λ„ν•¨μˆ˜μ˜ ν™œμš© I (2) - 둀의 정리, 평균값 정리

Scian 2021. 8. 31. 15:33
λ°˜μ‘ν˜•

λ„ν•¨μˆ˜μ˜ ν™œμš© I (1) 편

 

λ„ν•¨μˆ˜μ˜ ν™œμš© I (1) - μ ‘μ„ μ˜ 방정식

μ ‘μ„ μ˜ 방정식 μ ‘μ„ μ˜ 기울기 곑선 $f(x)$ μœ„μ˜ 점 $P(a, f(a))μ—μ„œμ˜ μ ‘μ„ μ˜ κΈ°μšΈκΈ°λŠ” x=aμ—μ„œμ˜ λ―ΈλΆ„κ³„μˆ˜ $f'(a)$와 κ°™λ‹€. μ ‘μ„ μ˜ 개수 = μ ‘μ μ˜ 개수 = μ ‘μ μ˜ xμ’Œν‘œμ˜ 개수 μ ‘μ„ μ˜ 방정식 πŸ“šBackground

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κ³ λ“± μˆ˜ν•™ IIμ—μ„œ λ‚˜μ˜€λŠ” 4가지 정리

  • μ΅œλŒ€·μ΅œμ†Œ 정리
  • μ‚¬μž‡κ°’ 정리
  • 둀의 정리
  • 평균값 정리

* μ΅œλŒ€·μ΅œμ†Œ 정리와 μ‚¬μž‡κ°’ μ •λ¦¬λŠ” μ•„λž˜ κΈ€ μ°Έκ³ :

2021.08.20 - [β™Ύ μˆ˜ν•™/μˆ˜ν•™ II] - ν•¨μˆ˜μ˜ 연속

 

ν•¨μˆ˜μ˜ 연속

ν•¨μˆ˜μ˜ 연속과 λΆˆμ—°μ† λ‹€μŒ 쑰건을 λͺ¨λ‘ 만쑱 μ‹œν‚¬ λ•Œ, $f(x)$λŠ” $x=a$μ—μ„œ 연속이라 ν•œλ‹€. [1] ν•¨μˆ˜ $f(x)$λŠ” $x=a$μ—μ„œ μ •μ˜λ˜μ–΄ μžˆλ‹€. [2] κ·Ήν•œκ°’ $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€. [3] $\lim_{x\righ..

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둀의 정리

ν•¨μˆ˜ $f(x)$κ°€

1️⃣ λ‹«νžŒκ΅¬κ°„ $[a, b]$μ—μ„œ 연속이고,

2️⃣ 열린ꡬ간 $(a, b)$μ—μ„œ λ―ΈλΆ„κ°€λŠ₯ν•  λ•Œ,

3️⃣ $f(a)=f(b)$이면

$f'(c)=0$인 $c$κ°€ $a$와 $b$ 사이에 적어도 ν•˜λ‚˜ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€.

→ $y=f(x)$μ—μ„œ $f(a)=f(b)$이면 xμΆ•κ³Ό ν‰ν–‰ν•œ μ ‘μ„ (기울기=0)을 κ°–λŠ” 점이 열린ꡬ간 (a, b)에 적어도 ν•˜λ‚˜ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€.

빨간색 직선 λΆ€λΆ„μ—μ„œ $f'(c)=0$

βž•f'(x)=0일 λ•Œ f(x)λŠ” μƒμˆ˜ν•¨μˆ˜ (평균값 μ •λ¦¬μ˜ ν™œμš© μ°Έκ³ )

 


평균값 정리 ⭐️⭐️

ν•¨μˆ˜ $f(x)$κ°€

1️⃣ λ‹«νžŒκ΅¬κ°„ $[a, b]$μ—μ„œ 연속이고,

2️⃣ 열린ꡬ간 $(a, b)$μ—μ„œ λ―ΈλΆ„κ°€λŠ₯ν•  λ•Œ,

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$인 $c$κ°€ $a$와 $b$ 사이에 적어도 ν•˜λ‚˜ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€.

→ $y=f(x)$ μœ„μ˜ 두 점 $(a, f(a)), (b, f(b))$λ₯Ό μž‡λŠ” 직선과 ν‰ν–‰ν•œ 접선을 κ°–λŠ” 점이 열린ꡬ간 (a, b)에 적어도 ν•˜λ‚˜ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€.

 

β–Ά 평균값 μ •λ¦¬μ—μ„œ $f(a)=f(b)$인 κ²½μš°κ°€ 둀의 정리이닀.

 

 

평균값 μ •λ¦¬μ˜ ν™œμš©

(평균값 μ •λ¦¬μ˜ 쑰건 ν•˜μ—μ„œ: f(x), g(x)κ°€ [a, b]μ—μ„œ 연속, (a, b)μ—μ„œ λ―ΈλΆ„κ°€λŠ₯ν•  λ•Œ (a, b)에 μ†ν•˜λŠ” λͺ¨λ“  x에 λŒ€ν•˜μ—¬)

1️⃣

(∀$x$에 λŒ€ν•˜μ—¬) $f'(x)=0$이면 f(x)λŠ” λ‹«νžŒκ΅¬κ°„ [a, b]μ—μ„œ μƒμˆ˜ν•¨μˆ˜μ΄λ‹€.

 

2️⃣ 

$f'(x)=g'(x)$이면 λ‹«νžŒκ΅¬κ°„ [a, b]μ—μ„œ

β–Ά $f(x)=g(x)+k$ (kλŠ” μƒμˆ˜)

β–Ά $f(x)-g(x)=k$ (kλŠ” μƒμˆ˜)


EDITOR: SCIAN

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