도함수의 활용 II (1) - 함수의 증가와 감소, 함수의 극대와 극소, 극값

함수의 증가와 감소

함수 f(x)가 어떤 구간에 속하는 임의의 두 수 $x_1, x_2$에 대하여 $x_1<x_2$일 때,

1️⃣ $f(x_1)<f(x_2)$이면 f(x)는 이 구간에서 증가

2️⃣ $f(x_1)>f(x_2)$이면 f(x)는 이 구간에서 감소

 

함수의 증가와 감소의 판정

함수 f(x)가 어떤 구간에서 미분가능하고, 이 구간의 모든x에 대해

1️⃣ $f'(x)>0$ ▶ f(x)는 이 구간에서 증가

2️⃣ $f'(x)<0$ ▶ f(x)는 이 구간에서 감소

 

🌟주의🌟

위의 역은 성립하지 않는다!   ex) $f(x)=x^3$

 

➕PLUS➕

f(x)가 증가함수일 조건: $f'(x)\geq 0$

f(x)가 감소함수일 조건: $f'(x)\leq 0$

 

△ $f(x)=x^3$ 그래프

• $f'(x)=3x^2$
• $f'(0)=0$

---

함수의 극대와 극소 ⭐️

Note: 교육과정에서 개념 자체가 바뀐 Case

$x=a$를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 x에 대해

1️⃣ $f(x)\leq f(a)$일 때, f(x)는 x=a에서 극대, f(a)는 극댓값

2️⃣ $f(x)\geq f(a)$일 때, f(x)는 x=a에서 극소, f(a)는 극솟값

 

· 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라고 함

· 극댓값<극솟값인 경우도 있다.

* 미분가능과 상관 없다고 생각

 

📚 개정 전 교육과정 내용 ▼

📚 개정 전 교육과정 내용

함수 f(x)가 연속일 때, 함수의 증가/감소가 바뀌는 순간

→ 극대와 극소가 생김

첨점 등에서도 극대, 극소가 생김

 

미분가능할 때는 기울기가 0

f'(a)=0일 때 x=a에서 극대/극소가 생김

 

➕삼차함수 그래프 그리기 (대략적으로)

삼차함수 f(x)를 인수분해해서 0이 되는 x값을 3개 찾은 후 그래프에 표시

→ $x^3$의 계수가 양수이면 오른쪽 위에서부터 각 점을 통과하게 그림

→ $x^3$의 계수가 음수이면 오른쪽 아래에서부터 각 점을 통과하게 그림

 

▲ $y=-4x^3+4x$(빨간색), $y=4x^3-4x$(파란색)의 그래프

 

동일한 원리로 일차함수, 이차함수 등도 그릴 수 있음!!

인수분해하여 0으로 만들 수 있는 x값을 x축 위에 모두 표시하고,

최고차항의 계수가 양수면 오른쪽 위에서, 음수면 오른쪽 아래에서 선을 그어 표시한 모든 점을 통과하도록 그리면 된다!

* 제곱(또는 차수가 짝수)이 포함되어 있으면 (e.g. $y=(x-1)^2(x-2)$) 통과하지 않고 휘게 그린다!

 

극값과 미분계수

$f(x)$가 x=a에서 극값(극대/극소)을 갖고 a를 포함하는 어떤 열린구간에서 미분가능하면 $f'(a)=0$이다.

📚 위의 역은 성립하지 않는다! (e.g. $f(x)=x^3$)

 

 

함수의 극대와 극소의 판정

미분가능한 함수 f(x)에 대해 f'(a)=0이고 x=a의 좌우에서

f'(x)가 + → -일 때 f(x)는 x=a에서 극대 (극댓값: f(a))

f'(x)가 - → +일 때 f(x)는 x=a에서 극소 (극솟값: f(a))

f'(x)가 - → - / + → -일 때 아무것도 아님