도함수의 활용 III

본 포스팅은 쎈닷컴 김재은 선생님의 수학II 강좌를 바탕으로 작성했음을 밝힙니다.

 

방정식에의 활용

방정식의 실근의 개수

1️⃣ $f(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수

$f(x)=0$의 실근

→ $\begin{cases}y=f(x)\\y=0\end{cases}$의 교점의 x좌표

→ $y=f(x)$의 x절편

⭐️ $y=f(x)$의 x절편의 개수 ($f(x)$의 그래프와 x축의 교점의 개수)

 

2️⃣ $f(x)=g(x)$의 서로 다른 실근의 개수

$f(x)=g(x)$의 실근

→ $\begin{cases}y=f(x)\\y=g(x)\end{cases}$의 교점의 x좌표

→ $\begin{cases}y=f(x)-g(x)\\y=0\end{cases}$의 교점의 x좌표

→ $y=f(x)-g(x)$의 x절편

 

삼차방정식의 근의 판별

▶ 그래프 활용!

---

📚 Background

삼차방정식이 근을 가지는 3가지 경우

$ax^3+bx^2+cx+d=0\ (a>0)$

 

1️⃣ 실근 3개

ex) $(x-1)(x-2)(x-3)=0$

 

2️⃣ 실근 2개

(중근 1개, 실근 1개)

ex) $(x-1)^2(x-2)=0$

 

3️⃣ 실근 1개

🅰️ 삼중근 (실근 3개가 다 같음)

ex) $x^3=0$

🅱️ 실근 1개, 허근 2개

ex) $(x-1)(x^2+x+1)=0$

---

1️⃣ (극댓값) × (극솟값) < 0

▶ 서로 다른 세 실근 (실근 3개)

 

2️⃣ (극댓값) × (극솟값) = 0

▶ 한 실근과 중근 (서로 다른 두 실근) (실근 2개)

(x축에 삼차함수가 접함)

 

3️⃣ (극댓값) × (극솟값) > 0

⭐️⭐️➕ 삼차함수가 극값을 갖지 않는 경우(삼중근을 갖는 경우도 있음)도 포함(실근 1개)!➕⭐️⭐️

▶ 한 실근과 두 허근 (실근 1개)

---

부등식에의 활용

1️⃣ 함수 $f(x)$에 대해 어떤 구간에서 $f(x)\geq 0$이 성립함을 보일 때

▶ 그 구간에서 f(x)의 최솟값 ≥ 0임을 보이면 됨!

 

2️⃣ 두 함수 $f(x), g(x)$에 대해 어떤 구간에서 $f(x)\geq g(x)$가 성립함을 보일 때

▶ 그 구간에서 f(x)-g(x)를 h(x)로 두고 h(x)의 최솟값 ≥ 0임을 보이면 됨!

 

➕ 어떤 구간에서 $f(x)$의 최솟값이 a

→ $f(x) \geq a$

---

속도와 가속도

📚 Background - 물리 개념
속력: 스칼라 물리량 (양만)
속도: 벡터 물리량 (양, 방향)
속력 = |속도|

1️⃣ 평균 속도 $v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$

(순간) 속도: $\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}$ (제목의 '속도' 개념)

📚 도함수 정의 복습
'도함수' 정의: $\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dx}=f'(x)=y'=\frac{df(x)}{dx}$

📚 Example

시간 t에서의 위치 $x=t^2-3t+1$일 때

1초일 때의 속도를 구하면?

위의 식을 미분하면 2t-3이므로 t에 1을 대입하면 -1이다.

∴ (순간) 속도: -1

2️⃣ 가속도 $a=\frac{dv}{dt}$

 

📚 정리

위치(x), 속도(v), 가속도(a) 사이의 관계

 

Plus. 길이, 넓이, 부피의 변화율

시각 t, 길이 l, 넓이 S, 부피 V

1️⃣ 길이의 변화율

$\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta l}{\Delta t}=\frac{dl}{dt}$

 

2️⃣ 넓이의 변화율

$\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta S}{\Delta t}=\frac{dS}{dt}$

 

3️⃣ 부피의 변화율

$\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta V}{\Delta t}=\frac{dV}{dt}$

 

---

EDITOR: SCIAN https://blog.scian.io/ admin@scian.io IT LOVER | DEVELOPER | ARTIST MATH & SCIENCE