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[λŒ€ν•™λ¬Όλ¦¬ν•™] 물체의 속도에 λΉ„λ‘€ν•˜λŠ” μ €ν•­λ ₯

Scian 2023. 1. 11. 23:47
λ°˜μ‘ν˜•

물체의 속도에 λΉ„λ‘€ν•˜λŠ” μ €ν•­λ ₯ — 증λͺ…

물체가 μ–΄λ–€ 앑체 μ†μ—μ„œ λ‚™ν•˜ν•œλ‹€κ³  생각해 봀을 λ•Œ, 물체에 μž‘μš©ν•˜λŠ” μ €ν•­λ ₯κ³Ό 쀑λ ₯이 ν‰ν˜•μ„ 이루면 곡은 쒅단 속λ ₯에 κ°€κΉŒμ›Œμ§€κ²Œ λœλ‹€.

이 λ•Œ, νŠΉμ •ν•œ μ‹œκ°„μ—μ„œμ˜ 속λ ₯을 κ΅¬ν•˜λŠ” 식에 λŒ€ν•΄ 증λͺ…ν•˜κ³ μž ν•œλ‹€. (미뢄방정식 풀이)

증λͺ…ν•  식: $v=v_T(1-e^{-t/\tau})=\frac{mg}{b}(1-e^{-bt/m})$

 

쒅단속λ ₯ $v_T$: 물체의 μ΅œλŒ€ 속λ ₯(μ €ν•­κ³Ό 쀑λ ₯이 λ™μΌν•΄μ§ˆ λ•Œ)

$\tau$: μ‹œκ°„ μƒμˆ˜, $\tau=\frac{m}{b}$; t=0μ—μ„œ 놓인 물체가 쒅단 속λ ₯의 63.2%에 도달할 λ•ŒκΉŒμ§€μ˜ μ‹œκ°„

(μ—¬κΈ°μ„œ 63.2%=0.632=$1-e^{-1}$)

$\frac{mg}{b}=v_T$

 

$mg-bv_T=0$

 

$\therefore v_T=\frac{mg}{b}$

 

$mg-bv=ma=m\frac{dv}{dt}$

 

$mg-bv=m\frac{dv}{dt}$

 

$dt=\frac{m}{mg-bv}dv$

 

$\int_{0}^{t} dt=\int_{0}^{v}\frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}$

 

$t=\big[-\frac{m}{b}\ln(g-\frac{b}{m}v)\big]^v_0$

 

$t=-\frac{m}{b}\ln\big(\frac{g-\frac{b}{m}v}{g}\big)$

 

$-\frac{b}{m}t=\ln\big(1-\frac{b}{mg}v\big)$

 

$1-\frac{b}{mg}v=e^{-\frac{bt}{m}}$

 

$\frac{b}{mg}v=1-e^{-\frac{bt}{m}}$

 

$\therefore v=\frac{mg}{b}\big(1-e^{-\frac{bt}{m}}\big)$

 

λ°˜μ‘ν˜•