[Calculus] 근판정법과 비판정법, 멱급수(거듭제곱급수)

근판정법과 비판정법

Root Test and Ratio Test

\begin{align*}
\text{Let } L = 
\begin{cases}
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| & \text{(for ratio test)} \\
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} & \text{(for root test)}
\end{cases}
\end{align*}

 

이때, $\sum_{n = 1}^\infty a_n$은 L<1에서 절대수렴하며, L>1에서 발산한다.

L=1인 경우, 별도의 고려가 필요하다.

 

멱급수 (거듭제곱급수)

Power Series

$\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n$ → a가 중심이 되는 멱급수

수렴반경 (interval/radius of convergence)

|x-a|<R이면 수렴, |x-a|>R이면 발산한다고 할 때, R (R>0)을 수렴반경이라고 한다.

위 예시에서, 수렴반경(R)은 다음과 같이 구할 수 있다.

\begin{align*}
R &= \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|} 
\quad \text{or  } \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}
\end{align*}

멱급수가 될 수 있는 경우의 수

이를 정리하면, 멱급수는 다음과 같은 3가지 경우 중 한 가지만 될 수 있다.

1. x=a일 때만 수렴한다.
2. 모든 x에 대해서 수렴한다.
3. 수렴반경 내에서 수렴하며, 그 외에는 발산한다.