[Calculus] 중요한 함수들의 테일러(매클로린) 급수

$e^x$에 대한 매클로린 급수

$e^x=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^n}{n!}=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots$

 

$\sin x$에 대한 매클로린 급수

$\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots$

 

$\cos x$에 대한 매클로린 급수

sin x에 대한 매클로린 급수를 미분하는 방식을 사용하면 쉽게 구할 수 있다.

 

$\cos x = \dfrac{d}{dx} (\sin x) = \dfrac{d}{dx}\left(x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots\right) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!} = 1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots$

 

$\arctan x$에 대한 매클로린 급수

$\arctan x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}$

 

$\cosh x, \sinh x$에 대한 매클로린 급수

이 때, $\cosh x$와 $\sinh x$는 미분한 것이 각각 서로이므로, 음수항을 포함하지 않는다.

 

$\cosh x = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{2n}}{(2n)!}$

 

$\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

 

$\dfrac{1}{1-x}$에 대한 매클로린 급수

$\dfrac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n=1+x+x^2+x^3+\cdots$ (if $-1<x<1$)

 

$\ln (1+x)$에 대한 매클로린 급수

$\ln (1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n} = x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots$ (if $-1<x \leq 1$)