평균변화율과 미분계수 - 이차함수

이차함수에서의 평균변화율과 미분계수

이차함수 $f(x)=px^2+qx+c$에서 미분계수가 평균변화율과 같은 지점

$c=\frac{a+b}{2}$ (a와 b의 평균 지점) 

 

[증명]

$f(x)=px^2+qx+c, f'(x)=2px+q$

$\frac{(pb^2+qb+c)-(pa^2+qa+c)}{b-a}$

$\frac{p(b^2-a^2)-q(b-a)}{b-a}$

$p(b+a)+q=2pc+q$

$2c=a+b$

$c=\frac{a+b}{2}$

 

▷ 어떤 이차함수던지 상관없이 항상 성립함!